Un condensador plano consta de dos placas metálicas circulares de 5.0 cm de radio, y separadas 1.0 cm ; les aplicamos una diferencia de potencial de 200 V . Hallar: 1) Su capacidad. 2) La densidad superficial de carga que poseen las armaduras. 3) El campo eléctrico entre sus placas. 4) La energía por unidad de volumen entre las placas. 5) La energía total almacenada en el condensador.
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre um condensador de placas paralelas circulares: 1) capacidade, 2) densidade superficial de carga nas armaduras, 3) campo elétrico entre as placas, 4) energia por unidade de volume entre as placas, 5) energia total armazenada no condensador.
As informações fornecidas são: o raio das placas é , a separação entre placas é
e a diferença de potencial aplicada é
. Vou também usar a constante do meio-vácuo
, com valor aproximado
.
As informações fornecidas são: o raio das placas é
Passo 2
Calcular a área de cada placa — porque a fórmula da capacidade de placas paralelas usa a área. A placa é circular, então a área é
Substituindo
,
Explicação curta:
é a fórmula básica da área de um círculo; sempre converta cm para m para usar SI.
Passo 3
Fórmula da capacidade de um condensador de placas paralelas (prática de prova):
onde
é a capacitância (em farads),
é a permissividade do vácuo,
é a área de uma placa e
é a separação entre placas. Motivação: a capacitância mede quanta carga é necessária para produzir uma dada diferença de potencial; para placas paralelas com campo aproximadamente uniforme, essa é a expressão padrão. Agora plugamos os números:
Calcule passo a passo: primeiro
. Depois multiplica por
:
Interpretação: a capacitância é da ordem de picoFarads (pF), o que é comum para placas pequenas e separações pequenas.
Passo 4
A densidade superficial de carga
nas armaduras está relacionada à carga
e à área
por
Como
, podemos escrever
Mas usando
a expressão simplifica (ótimo para tempo de prova):
Ou seja,
não depende da área explicitamente — depende só de
,
e
. Substituindo os valores:
Calcule:
. Então
Comentário didático: fisicamente,
é a carga por unidade de área em cada placa; placas opostas têm
.
Passo 5
Campo elétrico entre as placas: para um condensador de placas paralelas ideal, o campo é uniforme (exceto perto das bordas) e sua magnitude é
Substituindo os valores:
Relação com
: também vale
(para o campo entre placas infinitas; para nosso caso aproximado essa relação é consistente com o valor de
obtido). Verificação rápida:
, bate certinho.
Passo 6
Energia por unidade de volume (densidade de energia) entre as placas: a fórmula que usamos é
onde
é em joules por metro cúbico. Explicação: o campo elétrico carrega energia; essa fórmula vem da energia armazenada num campo elétrico por volume. Substituindo
,
Calcule passo a passo:
. Então
Interpretação: cada metro cúbico do espaço entre as placas contém cerca de
.
Passo 7
Energia total armazenada no condensador: há duas formas equivalentes de calcular — vou mostrar as duas (útil para prova e checagem):
Método A (capacitância):
Usando
e
,
Calcule:
. Metade disso dá
Método B (densidade de energia):
Usando
,
e
,
As duas formas dão o mesmo resultado (boa prática de prova: se baterem, provavelmente está certo).