Una esfera de 8 cm de radio posee una carga eléctrica de
. Calcular en unidades del SI: 1) El potencial en un punto de su superficie. 2) La densidad superficial de carga, de la esfera. 3) El campo y el potencial en un punto situado a 12 cm de la superficie esférica. 4) La energía eléctrica almacenada en la esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera com carga elétrica
e raio
. As perguntas são, em ordem:
- o potencial num ponto da superfície;
- a densidade superficial de carga da esfera;
- o campo e o potencial num ponto situado a
da superfície esférica; - a energia elétrica armazenada na esfera.
Primeiro vamos converter as unidades para o SI e fixar a geometria:
Quando o enunciado diz “
da superfície”, interpreto como distância radial medida desde a superfície da esfera; portanto a posição pedida tem distância do centro
Também usaremos a constante elétrica no vácuo
e a constante
. Numericamente tomaremos
.
Passo 2
Vamos calcular o potencial na superfície. Conceito e fórmula: para uma esfera condutora carregada (ou para o campo externo de uma esfera carregada), o potencial elétrico fora da esfera é igual ao potencial de uma carga pontual
colocada no centro; em particular, o potencial na superfície é
Aqui
é o potencial em volts,
em coulombs,
em metros, e
é
. Substituindo os valores:
Calcule passo a passo: primeiro
. Agora divide por
:
Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação física rápida: como a carga é positiva, esse potencial é positivo; para uma esfera isolada o potencial é constante em toda a superfície.
Passo 3
Agora a densidade superficial de carga
. Conceito: para uma carga
distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio
, a densidade superficial (carga por unidade de área) é
Aqui
é a área da superfície da esfera. Substituindo:
Calcule passo a passo:
. Logo
. Então
Portanto
.
Passo 4
Campo e potencial no ponto a
da superfície (distância ao centro
). Conceito: para
o campo elétrico e o potencial são iguais aos gerados por uma carga pontual
no centro:
Expliquei o porquê: simetria esférica e Teorema de Gauss implicam que o campo externo é o mesmo de uma carga pontual. Agora os cálculos:
Para o campo:
Calcule:
. Já tínhamos
. Dividindo por
:
Arredondando:
direção radial para fora (porque
).
Para o potencial:
Usando o produto
novamente e dividindo por
:
Arredondando:
Observação:
, coerente.
Passo 5
Energia elétrica armazenada na esfera. Vou mostrar a derivação física e depois calcular numericamente.
Derivação (método do campo): a densidade de energia eletrostática no vácuo é
. A energia total armazenada no campo é
Como o campo estático dentro do condutor é zero, só precisamos integrar para
de
a
. Para
temos
. Então
Simplificando o integrando passo a passo:
multiplicando por
dá
Portanto
Usando
podemos escrever
forma prática e frequentemente usada.
Agora o cálculo numérico. Usando
:
Calcule
. Então
. Dividindo por
:
Metade disso:
Arredondando:
Passo 6
Resumo físico rápido e checagens: os resultados têm unidades corretas (V para potencial, C/m² para densidade, N/C para campo, J para energia). A dependência
e
para
está presente nas fórmulas usadas; para uma carga positiva o campo aponta radialmente para fora. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, copie as fórmulas com cuidado e aplica as conversões de unidade como fizemos. Força!