Una esfera de 8 cm de radio posee una carga eléctrica de 0,3 \mu \mathrm{C}. Calcular en unidades del SI: 1) El potencial en un punto de su superficie. 2) La densidad superficial de carga, de la esfera. 3) El campo y el potencial en un punto situado a 12 cm de la superficie esférica. 4) La energía eléctrica almacenada en la esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera com carga elétrica Q=0{,}3\\ \mu\mathrm{C} e raio 8\\ \mathrm{cm}. As perguntas são, em ordem:
  1. o potencial num ponto da superfície;
  2. a densidade superficial de carga da esfera;
  3. o campo e o potencial num ponto situado a 12\\ \mathrm{cm} da superfície esférica;
  4. a energia elétrica armazenada na esfera.
Primeiro vamos converter as unidades para o SI e fixar a geometria:
Q=0{,}3\\ \mu\mathrm{C}=0{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=3{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C},
R=8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
Quando o enunciado diz “ 12\\ \mathrm{cm} da superfície”, interpreto como distância radial medida desde a superfície da esfera; portanto a posição pedida tem distância do centro
r=R+12\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}+0{,}12\\ \mathrm{m}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Também usaremos a constante elétrica no vácuo \varepsilon_{0} e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Numericamente tomaremos k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Vamos calcular o potencial na superfície. Conceito e fórmula: para uma esfera condutora carregada (ou para o campo externo de uma esfera carregada), o potencial elétrico fora da esfera é igual ao potencial de uma carga pontual Q colocada no centro; em particular, o potencial na superfície é
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}=k\frac{Q}{R}.
Aqui V(R) é o potencial em volts, Q em coulombs, R em metros, e k é 1/(4\pi\varepsilon_{0}). Substituindo os valores:
V(R)=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{3{,}0\times10^{-7}}{0{,}08}.
Calcule passo a passo: primeiro 8{,}99\times10^{9}\cdot3{,}0\times10^{-7}=8{,}99\cdot3{,}0\times10^{9-7}=26{,}97\times10^{2}=2{,}697\times10^{3}. Agora divide por 0{,}08:
V(R)=\frac{2{,}697\times10^{3}}{0{,}08}=3{,}37125\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Arredondando com três algarismos significativos:
V(R)\approx3{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Interpretação física rápida: como a carga é positiva, esse potencial é positivo; para uma esfera isolada o potencial é constante em toda a superfície.

Passo 3

Agora a densidade superficial de carga \sigma. Conceito: para uma carga Q distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio R, a densidade superficial (carga por unidade de área) é
\sigma=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
Aqui A=4\pi R^{2} é a área da superfície da esfera. Substituindo:
\sigma=\frac{3{,}0\times10^{-7}}{4\pi(0{,}08)^{2}}.
Calcule passo a passo: R^{2}=(0{,}08)^{2}=0{,}0064. Logo 4\pi R^{2}=4\pi\cdot0{,}0064=0{,}0256\pi\approx0{,}0804248. Então
\sigma\approx\frac{3{,}0\times10^{-7}}{0{,}0804248}\approx3{,}73\times10^{-6}\\ \mathrm{C\!/m^{2}}.
Portanto \sigma\approx3{,}73\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 4

Campo e potencial no ponto a 12\\ \mathrm{cm} da superfície (distância ao centro r=0{,}20\\ \mathrm{m}). Conceito: para r\ge R o campo elétrico e o potencial são iguais aos gerados por uma carga pontual Q no centro:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}=k\frac{Q}{r^{2}}, \qquad V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}=k\frac{Q}{r}.
Expliquei o porquê: simetria esférica e Teorema de Gauss implicam que o campo externo é o mesmo de uma carga pontual. Agora os cálculos:
Para o campo:
E(0{,}20)=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{3{,}0\times10^{-7}}{(0{,}20)^{2}}.
Calcule: (0{,}20)^{2}=0{,}04. Já tínhamos 8{,}99\times10^{9}\cdot3{,}0\times10^{-7}=2{,}697\times10^{3}. Dividindo por 0{,}04:
E(0{,}20)=\frac{2{,}697\times10^{3}}{0{,}04}=6{,}7425\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando:
E(0{,}20)\approx6{,}74\times10^{4}\\ \mathrm{N/C},
direção radial para fora (porque Q>0).
Para o potencial:
V(0{,}20)=8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{3{,}0\times10^{-7}}{0{,}20}.
Usando o produto 2{,}697\times10^{3} novamente e dividindo por 0{,}20:
V(0{,}20)=\frac{2{,}697\times10^{3}}{0{,}20}=1{,}3485\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V(0{,}20)\approx1{,}35\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Observação: V(0{,}20)=V(R)\cdot\frac{R}{r}=3{,}37125\times10^{4}\cdot\frac{0{,}08}{0{,}20}=1{,}3485\times10^{4}, coerente.

Passo 5

Energia elétrica armazenada na esfera. Vou mostrar a derivação física e depois calcular numericamente.
Derivação (método do campo): a densidade de energia eletrostática no vácuo é \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}. A energia total armazenada no campo é
U=\int_{\text{todo espaço}}\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}\,dV.ç
Como o campo estático dentro do condutor é zero, só precisamos integrar para r de R a \infty. Para r\ge R temos E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}. Então
U=\int_{R}^{\infty}\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr.
Simplificando o integrando passo a passo:
\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\right)^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}r^{4}},
multiplicando por \frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot4\pi r^{2}
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot4\pi r^{2}\cdot\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}r^{4}} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
Portanto
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left[\,-\frac{1}{r}\,\right]_{R}^{\infty} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R}.
Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} podemos escrever
U=\frac{1}{2}\,k\frac{Q^{2}}{R}=\frac{1}{2}Q\,V(R),
forma prática e frequentemente usada.
Agora o cálculo numérico. Usando k\approx8{,}99\times10^{9}:
U=\frac{1}{2}\,8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(3{,}0\times10^{-7})^{2}}{0{,}08}.
Calcule Q^{2}=(3{,}0\times10^{-7})^{2}=9{,}0\times10^{-14}. Então kQ^{2}=8{,}99\times10^{9}\cdot9{,}0\times10^{-14}=8{,}091\times10^{-4}. Dividindo por 0{,}08:
\frac{kQ^{2}}{R}=\frac{8{,}091\times10^{-4}}{0{,}08}=1{,}011375\times10^{-2}.
Metade disso:
U=\frac{1}{2}\cdot1{,}011375\times10^{-2}=5{,}056875\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U\approx5{,}06\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resumo físico rápido e checagens: os resultados têm unidades corretas (V para potencial, C/m² para densidade, N/C para campo, J para energia). A dependência E\propto1/r^{2} e V\propto1/r para r\ge R está presente nas fórmulas usadas; para uma carga positiva o campo aponta radialmente para fora. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, copie as fórmulas com cuidado e aplica as conversões de unidade como fizemos. Força!

Resposta

V_{\text{superfície}}\approx3{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{V}í
\sigma\approx3{,}73\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}
E(0{,}20\\ \mathrm{m})\approx6{,}74\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} (radial para fora); \;V(0{,}20\\ \mathrm{m})\approx1{,}35\times10^{4}\\ \mathrm{V}
U\approx5{,}06\times10^{-3}\\ \mathrm{J}

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