Dos condensadores de 3.0 y 4.0 mF se conectan en paralelo y se cargan a una tensión de 12 V . ¿Qué diferencia de potencial hará falta entre los condensadores conectados en serie, para que almacenen la misma energía que poseen los dos condensadores cargados y conectados como hemos indicado?
Passo 1
O enunciado dá dois condensadores com capacitâncias
e
ligados em paralelo e carregados a uma tensão
. Ele pede qual diferença de potencial (tensão) será necessária entre esses mesmos condensadores ligados em série, para que a energia total armazenada na associação em série seja igual à energia total que eles tinham quando estavam em paralelo e carregados. Dados concretos fornecidos:
Incógnita:
Passo 2
Fórmula básica de energia elétrica armazenada num condensador: a energia
armazenada por um condensador de capacitância
quando submetido a uma diferença de potencial
é
Explicação didática: isso vem do trabalho para carregar o condensador. Se carregarmos até carga
, a tensão instantânea é
. O trabalho incremental é
. Integrando de
a
obtemos
. Como
, substituindo chega-se a
. Nesta fórmula,
está em joules,
em farads e
em volts.
Passo 3
Energia total quando os condensadores estão em paralelo e carregados a
.
Regra para paralelo: as capacitâncias somam,
Regra para paralelo: as capacitâncias somam,
Portanto a energia total armazenada na associação em paralelo é
Substituindo os valores (convertendo mF para F ou mantendo mF, porque vamos comparar energies com mesmas unidades):
Calculemos numericamente para ter um número de referência:
Passo 4
Equivalente em série e sua energia. Para capacitores em série, a capacitância equivalente
é dada por
Explicação: em série as cargas são iguais e a tensão total se reparte; a fórmula acima resulta dessa condição. Calculando com os valores dados:
Passo 5
Energia armazenada na associação em série quando a tensão total aplicada for
:
Queremos que essa energia seja igual à energia que tínhamos em paralelo, ou seja
Cancelando o fator
e isolando
obtemos
Agora substituir a expressão de
:
Portanto uma forma simplificada é
Interpretação: como
é menor que
, para guardar a mesma energia é necessário aplicar uma tensão total maior.
Passo 6
Substituindo os números em mF (as unidades se cancelam na razão):
Finalmente
Arredondando com sensatez (duas casas decimais) obtemos
.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida: a tensão necessária em série é maior que
porque a capacitância equivalente em série é menor do que a equivalente em paralelo; para armazenar a mesma energia numa capacitância menor é preciso aplicar uma tensão maior. Está tudo consistente com as fórmulas e o cálculo numérico.