Dos condensadores de 3.0 y 4.0 mF se conectan en paralelo y se cargan a una tensión de 12 V . ¿Qué diferencia de potencial hará falta entre los condensadores conectados en serie, para que almacenen la misma energía que poseen los dos condensadores cargados y conectados como hemos indicado?

Passo 1

O enunciado dá dois condensadores com capacitâncias C_1 e C_2 ligados em paralelo e carregados a uma tensão V. Ele pede qual diferença de potencial (tensão) será necessária entre esses mesmos condensadores ligados em série, para que a energia total armazenada na associação em série seja igual à energia total que eles tinham quando estavam em paralelo e carregados. Dados concretos fornecidos:
C_1 = 3{,}0\\ \text{mF},\quad C_2 = 4{,}0\\ \text{mF},\quad V = 12\\ \text{V}.
Incógnita:
V_s = \text{tensão total que deve ser aplicada à associação em série}.ãàçãé

Passo 2

Fórmula básica de energia elétrica armazenada num condensador: a energia U armazenada por um condensador de capacitância C quando submetido a uma diferença de potencial V é
U=\tfrac{1}{2} C V^2.
Explicação didática: isso vem do trabalho para carregar o condensador. Se carregarmos até carga q, a tensão instantânea é v=q/C. O trabalho incremental é v\,dq=(q/C)\,dq. Integrando de 0 a Q obtemos U=\int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}. Como Q=CV, substituindo chega-se a U=\tfrac{1}{2} C V^2. Nesta fórmula, U está em joules, C em farads e V em volts.

Passo 3

Energia total quando os condensadores estão em paralelo e carregados a \,V=12\\ \text{V}\,.
Regra para paralelo: as capacitâncias somam,
C_{\text{par}} = C_1 + C_2.
Portanto a energia total armazenada na associação em paralelo é
U_{\text{par}} = \tfrac{1}{2} C_{\text{par}} V^2 = \tfrac{1}{2} (C_1+C_2) V^2.
Substituindo os valores (convertendo mF para F ou mantendo mF, porque vamos comparar energies com mesmas unidades):
C_{\text{par}} = 3{,}0 + 4{,}0 = 7{,}0\\ \text{mF} = 7{,}0\times 10^{-3}\\ \text{F}.
Calculemos numericamente para ter um número de referência:
U_{\text{par}} = \tfrac{1}{2}\cdot 7{,}0\times 10^{-3}\cdot 12^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 7{,}0\times 10^{-3}\cdot 144 = 0{,}504\\ \text{J}.

Passo 4

Equivalente em série e sua energia. Para capacitores em série, a capacitância equivalente C_{\text{ser}} é dada por
\frac{1}{C_{\text{ser}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \quad\Rightarrow\quad C_{\text{ser}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.
Explicação: em série as cargas são iguais e a tensão total se reparte; a fórmula acima resulta dessa condição. Calculando com os valores dados:
C_{\text{ser}}=\frac{3{,}0\cdot 4{,}0}{3{,}0+4{,}0}\\ \text{mF}=\frac{12{,}0}{7{,}0}\\ \text{mF}\approx 1{,}7142857\\ \text{mF}=1{,}7142857\times 10^{-3}\\ \text{F}.

Passo 5

Energia armazenada na associação em série quando a tensão total aplicada for V_s:
U_{\text{ser}}=\tfrac{1}{2} C_{\text{ser}} V_s^2.
Queremos que essa energia seja igual à energia que tínhamos em paralelo, ou seja
\tfrac{1}{2} C_{\text{ser}} V_s^2 = \tfrac{1}{2} (C_1+C_2) V^2.
Cancelando o fator \tfrac{1}{2} e isolando V_s obtemos
V_s = V\sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_{\text{ser}}}}.
Agora substituir a expressão de C_{\text{ser}}:
C_{\text{ser}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{C_1+C_2}{C_{\text{ser}}}=\frac{(C_1+C_2)^2}{C_1 C_2}.
Portanto uma forma simplificada é
V_s = V\;\frac{C_1+C_2}{\sqrt{C_1 C_2}}.
Interpretação: como C_{\text{ser}} é menor que C_{\text{par}}, para guardar a mesma energia é necessário aplicar uma tensão total maior.

Passo 6

Substituindo os números em mF (as unidades se cancelam na razão):
C_1+C_2 = 7{,}0\\ \text{mF},\qquad C_1 C_2 = 3{,}0\cdot 4{,}0 = 12{,}0\\ \text{mF}^2.
\sqrt{C_1 C_2} = \sqrt{12{,}0}\\ \text{mF}\approx 3{,}4641016\\ \text{mF}.
\frac{C_1+C_2}{\sqrt{C_1 C_2}} \approx \frac{7{,}0}{3{,}4641016}\approx 2{,}0207259.
Finalmente
V_s = 12\cdot 2{,}0207259 \approx 24{,}2487108\\ \text{V}.
Arredondando com sensatez (duas casas decimais) obtemos V_s\approx 24{,}25\\ \text{V}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida: a tensão necessária em série é maior que 12\\ \text{V} porque a capacitância equivalente em série é menor do que a equivalente em paralelo; para armazenar a mesma energia numa capacitância menor é preciso aplicar uma tensão maior. Está tudo consistente com as fórmulas e o cálculo numérico.

Resposta

24{,}25\\ \text{V}

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