Se a condição de contorno da equação de Laplace for u0=1 para 0 para -pi, encontre a solução da série de Fourier u(r, theta) dentro do círculo unitário. O que é u na origem r=0?

Passo 1

Estamos resolvendo a equação de Laplace dentro do disco unitário em coordenadas polares, com a condição de contorno na fronteira dada por
$$
u(1,\theta)= u(1,theta)=1,&0$$
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier na variável theta.

Passo 2

Queremos expandir a função de contorno f(theta)=nu(1,theta) em série de Fourier:
$$f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\bigr).
f(theta)=a02+sumn=1^inftyl(ancos ntheta+bnsin nthetar) ã
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta),d\theta,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta,d\theta,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta,d\theta.
$$

Passo 3

Calculando a0:
a0=1piintegral-pi^pif(theta),dtheta=1piintegral0^pi1,dtheta=pipi=1
Para n>=1 vemos que an=0 (simetria) e
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin n\theta,d\theta=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos n\theta}{n}\Bigr]_{0}{\pi}=\frac{1-(-1)n}{\pi n}.
$$

Passo 4

A solução geral regular na origem é
$$u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}{\infty}rn\bigl(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\bigr).
u(r,theta)=a02+sumn=1^inftyr^nl(ancos ntheta+bnsin nthetar) u(r,\theta)=\frac12+\sum_{n=1}{\infty}\frac{1-(-1)n}{\pi n},r^n\sin n\theta.
$$

Passo 5

Como 1-(-1)^n só é não nulo para n=2k-1 (ímpares), podemos reescrever a soma:
$$u(r,\theta)=\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}{\infty}\frac{r{2k-1}}{2k-1},\sin\bigl((2k-1)\theta\bigr).
$$

Passo 6

Para avaliar na origem r=0, note que todos os termos com r^2k-1 vão a zero, sobrando apenas o termo constante.

Resposta

Dentro do disco unitário temos
u(r,theta)=12+2pisumk=1^inftyr^2k-12k-1,sinl((2k-1)thetar),
e na origem r=0 vale u(0,theta)=tfrac12.

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