Se a condição de contorno da equação de Laplace for
para
para
, encontre a solução da série de Fourier
dentro do círculo unitário. O que é
na origem
?
Passo 1
Estamos resolvendo a equação de Laplace dentro do disco unitário em coordenadas polares, com a condição de contorno na fronteira dada por
$$
u(1,\theta)=
$$
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier na variável .
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier na variável
Passo 2
Queremos expandir a função de contorno
em série de Fourier:
$$f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\bigr).
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta),d\theta,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta,d\theta,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta,d\theta.
$$
Passo 3
Calculando
:
Para
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin n\theta,d\theta=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos n\theta}{n}\Bigr]_{0}{\pi}=\frac{1-(-1)n}{\pi n}.
$$
Passo 4
A solução geral regular na origem é
$$u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}{\infty}rn\bigl(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\bigr).
$$
Passo 5
Como
só é não nulo para
(ímpares), podemos reescrever a soma:
$$u(r,\theta)=\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}{\infty}\frac{r{2k-1}}{2k-1},\sin\bigl((2k-1)\theta\bigr).
$$
Passo 6
Para avaliar na origem
, note que todos os termos com
vão a zero, sobrando apenas o termo constante.
Resposta
Dentro do disco unitário temos
e na origem