Sejam a, b e c raízes de x^3-9 x^2+11 x-1=0. Seja s=raiza+raizb+raizc.
Ache o valor numérico de s^4-18 s^2-8 s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de s^4 - 18s^2 - 8s, onde a,b,c são as raízes do polinômio x^3 - 9x^2 + 11x - 1 = 0 e s = raiza + raizb + raizc. Vamos usar Vieta e simetrias entre a,b,c para chegar a uma relação que envolva apenas s.

Passo 2

Pelo teorema de Vieta, se a,b,c são raízes de x^3 - 9x^2 + 11x -1 = 0, então definimos:
p = a+b+c = 9, q = ab + bc + ca = 11, r = abc = 1

Passo 3

Para simplificar, seja
U = raizab + raizbc + raizca
Note que
s^2 = (raiza + raizb + raizc)^2 = a+b+c + 2,U = p + 2U = 9 + 2U

Passo 4

Agora calculemos U^2:
$$U^2 = ab + bc + ca + 2\bigl(\sqrt{ab}\sqrt{bc} + \sqrt{ab}\sqrt{ca} + \sqrt{bc}\sqrt{ca}\bigr).
U^2 = ab + bc + ca + 2l(raizabraizbc + raizabraizca + raizbcraizcar) \sqrt{ab}\sqrt{bc} = b\sqrt{ac} = \sqrt{abc},\sqrt{b} = \sqrt{r},\sqrt{b},$$
e de forma análoga para os outros termos. Então
raizabraizbc = braizac = raizabc,raizb = raizr,raizb,

Passo 5

Temos, portanto, o sistema
s^2 = 9 + 2U,
U^2 = 11 + 2s
Substituindo U = (s^2 - 9)/2 na segunda equação:
$$\Bigl(\tfrac{s^2 - 9}{2}\Bigr)^2 = 11 + 2s \quad\Longrightarrow\quad (s^2 - 9)^2 = 4(11 + 2s).
l(tfracs^2 - 92r)^2 = 11 + 2s Longrightarrow (s^2 - 9)^2 = 4(11 + 2s) s^4 - 18s^2 + 81 = 44 + 8s \quad\Longrightarrow\quad s^4 - 18s^2 - 8s + 37 = 0.
$$

Passo 6

Da equação final, isolamos justamente o que nos interessa:
$$s^4 - 18s^2 - 8s = -37.
$$

Resposta

-37

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