Sejam a, b e c raízes de
. Seja
.
Ache o valor numérico de
.
Ache o valor numérico de
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
, onde
são as raízes do polinômio
e
. Vamos usar Vieta e simetrias entre
para chegar a uma relação que envolva apenas
.
Passo 2
Pelo teorema de Vieta, se
são raízes de
, então definimos:
Passo 3
Para simplificar, seja
Note que
Passo 4
Agora calculemos
:
$$U^2 = ab + bc + ca + 2\bigl(\sqrt{ab}\sqrt{bc} + \sqrt{ab}\sqrt{ca} + \sqrt{bc}\sqrt{ca}\bigr).
e de forma análoga para os outros termos. Então
Passo 5
Temos, portanto, o sistema
Substituindo
$$\Bigl(\tfrac{s^2 - 9}{2}\Bigr)^2 = 11 + 2s \quad\Longrightarrow\quad (s^2 - 9)^2 = 4(11 + 2s).
$$
Passo 6
Da equação final, isolamos justamente o que nos interessa:
$$s^4 - 18s^2 - 8s = -37.
$$
Resposta
-37