Utilizando a regra da cadeia determine: d zd t e d wd t.
z=raizx^2+y^2, para x=e^2 t e y=e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia em que z depende de x e y, e x e y são funções de t. Especificamente temos z= raizx^2+y^2, com x= e^2t e y= e^-2t. Vamos aplicar a teoria da derivada de função composta.

Passo 2

Para calcular dzdt, primeiro encontramos as derivadas parciais de z em relação a x e y e, em seguida, usamos a fórmula da regra da cadeia:
dzdt=partial zpartial xcdotdxdt+partial zpartial ycdotdydt
Como z=(x^2+y^2)^1/2,
partial zpartial x=xraizx^2+y^2,partial zpartial y=yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos dx/dt e dy/dt e substituímos tudo na expressão de dz/dt.
dxdt=2e^2t,dydt=-2e^-2t
Substituindo:
dzdt=xcdot2e^2t+ycdot(-2e^-2t)raizx^2+y^2
Como x= e^2t e y= e^-2t, o numerador fica 2e^4t-2e^-4t e o denominador raize^4t+e^-4t.

Passo 4

Não é possível determinar dwdt porque a função w(x,y) não foi definida no enunciado, logo falta informação para calcular essa derivada.

Resposta

dzdt=2l(e^4t-e^-4tr)raize^4t+e^-4t, e dwdt não pode ser determinado pois w não foi definido.

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