Qual a condição que se deve verificar o número m, para que o ponto A(-4,3) seja interior à circunferência ( lambda ) de equação x^2+y^2+4 x-2 y+m=0.
Escolha uma opção:
S=m in R mid m<-5
S=m in R mid m<3
S=m in R mid m<-5 out m>3
S=m in R mid m<-3
S=m in R mid-5>m>-3

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre m para que o ponto A(-4,3) fique no interior da circunferência lambda dada por
x^2+y^2+4x-2y+m=0
O conteúdo envolvido é representação canônica de circunferência e comparação entre o quadrado da distância do centro ao ponto e o quadrado do raio.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma canônica completando quadrados:
x^2+4x = (x+2)^2-4,
y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo em
x^2+y^2+4x-2y+m=0
temos
(x+2)^2-4 + (y-1)^2-1 + m = 0
portanto
(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5 - m
Logo, o centro é C(-2,1) e o raio satisfaz
r^2 = 5 - m

Passo 3

Calculamos o quadrado da distância entre C e A:
CA^2 = (-4 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8

Passo 4

Para que A seja interior, é preciso
CA^2 < r^2,
isto é
8 < 5 - m
-m > 8 - 5 = 3
m < -3

Resposta

S = m in Rmid m < -3

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