Demonstre que o limite não existe
lim (x, y)->(0,0) x^2 yx^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2yx^4+y^2
não existe. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e o critério de teste por dependência de caminho: se duas curvas de aproximação dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Analisamos a aproximação pela reta y=0. Substituindo em x^2yx^4+y^2 obtemos
x^2cdot 0x^4+0^2=0
Logo, ao longo de y=0, o limite vale 0.

Passo 3

Agora consideramos a parábola y = m,x^2, com minR. Substituindo:
x^2(m x^2)x^4+(m x^2)^2 =m,x^4x^4+m^2x^4 =m1+m^2
Esse valor depende de m. Por exemplo, para m=1 o limite vale tfrac12.

Passo 4

Como o limite ao longo de y=0 é 0 e ao longo de y=x^2 é tfrac12, o valor do limite varia com o caminho de aproximação. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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