Prove, por indução, que
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 é divisível por 9 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por indução que a soma
n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3
é sempre divisível por 9, para todo inteiro n. O conteúdo usado será o princípio de indução matemática aliado a propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Verificamos a base da indução. Para n=0,
0^3 + 1^3 + 2^3 = 0 + 1 + 8 = 9,
e de fato 9 é divisível por 9. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=0 valha a propriedade, ou seja,
k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3
é divisível por 9. Queremos mostrar que então
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3
também é divisível por 9.

Passo 4

Observe que
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3 = l(k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3r) ;+;l((k+3)^3 - k^3r)
Pelo passo indutivo, o primeiro grupo entre parênteses é divisível por 9. Agora calculemos a diferença:
(k+3)^3 - k^3 = l(k^3 + 9k^2 + 27k +27r) - k^3 = 9l(k^2 + 3k +3r),
que também é múltiplo de 9.

Passo 5

Como soma de dois múltiplos de 9 é múltiplo de 9, concluímos que
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3
é divisível por 9. Assim a propriedade é verdadeira para n=k+1.

Resposta

Pela indução matemática, para todo ninN, a quantidade
n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3
é divisível por 9.

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