Prove, por indução, que
é divisível por 9 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar por indução que a soma
é sempre divisível por 9, para todo inteiro
. O conteúdo usado será o princípio de indução matemática aliado a propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Verificamos a base da indução. Para
,
e de fato
é divisível por
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha a propriedade, ou seja,
é divisível por
. Queremos mostrar que então
também é divisível por
.
Passo 4
Observe que
Pelo passo indutivo, o primeiro grupo entre parênteses é divisível por
. Agora calculemos a diferença:
que também é múltiplo de
.
Passo 5
Como soma de dois múltiplos de
é múltiplo de
, concluímos que
é divisível por
. Assim a propriedade é verdadeira para
.
Resposta
Pela indução matemática, para todo
, a quantidade
é divisível por
.