Qual a condição para que uma função f: A subset R^2 R seja diferenciável em um ponto (x0, y0) in A ? Use-a para mostrar que f(x, y)=sen(x^2+y^2) in diferenciável em R^2.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente apresente a condição de diferenciabilidade de uma função ;fcolon AsubsetR^2toR; num ponto (x0,y0), e depois use essa condição para mostrar que
f(x,y)=sinl(x^2+y^2r)
é diferenciável em todo R^2. Vamos precisar da definição de diferenciabilidade em duas variáveis e do cálculo das derivadas parciais de f.

Passo 2

Definição (condição de diferenciabilidade):
Uma função f é diferenciável em (x0,y0) se existir um mapa linear
L(h,k)=A,h + B,k
tal que, com r(h,k)=f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-L(h,k), valha
lim(h,k)to(0,0)r(h,k)raizh^2+k^2 ;=;0
Nesse caso A e B coincidem com as derivadas parciais partial fpartial x(x0,y0) e partial fpartial y(x0,y0).
Um teorema padrão de análise diz que se tfracpartial fpartial x e tfracpartial fpartial y existem num entorno de (x0,y0) e são contínuas em (x0,y0), então f é diferenciável em (x0,y0).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=sinl(x^2+y^2r)
Definindo u=x^2+y^2, pela regra da cadeia temos
partial fpartial x =cos(u),partial upartial x =cosl(x^2+y^2r)cdot 2x =2xcosl(x^2+y^2r),
partial fpartial y =cos(u),partial upartial y =cosl(x^2+y^2r)cdot 2y =2ycosl(x^2+y^2r)

Passo 4

Note que as funções polinomiais 2x e 2y são contínuas em R^2, a função cos é contínua em R e a composição de contínuas é contínua. Logo
(x,y)mapsto 2xcos(x^2+y^2) e (x,y)mapsto 2ycos(x^2+y^2)
são contínuas em todo R^2.

Passo 5

Pelo teorema que afirma “existência e continuidade das derivadas parciais num entorno implicam diferenciabilidade”, concluímos que f(x,y)=sin(x^2+y^2) é diferenciável em cada ponto de R^2.

Resposta

A condição de diferenciabilidade em (x0,y0) é a existência de um mapa linear
;L(h,k)=fx(x0,y0),h+fy(x0,y0),k; cujo resto
;f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-L(h,k); seja o(raizh^2+k^2).
No caso de f(x,y)=sin(x^2+y^2), as derivadas parciais existem e são contínuas em R^2, logo f é diferenciável em todo R^2.

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