Qual a condição para que uma função
seja diferenciável em um ponto
? Use-a para mostrar que
diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede primeiro que a gente apresente a condição de diferenciabilidade de uma função
num ponto
, e depois use essa condição para mostrar que
é diferenciável em todo
. Vamos precisar da definição de diferenciabilidade em duas variáveis e do cálculo das derivadas parciais de
.
Passo 2
Definição (condição de diferenciabilidade):
Uma função é diferenciável em
se existir um mapa linear
Uma função
tal que, com
, valha
Nesse caso
e
coincidem com as derivadas parciais
e
.
Um teorema padrão de análise diz que se
e
existem num entorno de
e são contínuas em
, então
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
Definindo
, pela regra da cadeia temos
Passo 4
Note que as funções polinomiais
e
são contínuas em
, a função
é contínua em
e a composição de contínuas é contínua. Logo
são contínuas em todo
.
Passo 5
Pelo teorema que afirma “existência e continuidade das derivadas parciais num entorno implicam diferenciabilidade”, concluímos que
é diferenciável em cada ponto de
.
Resposta
A condição de diferenciabilidade em
é a existência de um mapa linear
; cujo resto
; seja
.
No caso de , as derivadas parciais existem e são contínuas em
, logo
é diferenciável em todo
.
No caso de