Determine fx, fy e fz.
f(x, y, z)=z ln (x^2 y cos z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=zlnl(x^2ycos zr)
O conteúdo aqui é derivada parcial de função de três variáveis, envolvendo a regra do produto (para o fator z) e a regra da cadeia para o logaritmo.

Passo 2

Para calcular fx=partial fpartial x, tratamos z como constante e aplicamos
partialpartial xl[zln(cdots)r] = zcdot1x^2ycos zcdotpartialpartial xl(x^2ycos zr)
Como y e cos z são constantes em relação a x, temos
partialpartial xl(x^2ycos zr) =2x,ycos z
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fx = zcdot2x,ycos zx^2ycos z = 2zx

Passo 3

Para fy=partial fpartial y, z e x são constantes, então
fy = zcdot1x^2ycos zcdotpartialpartial yl(x^2ycos zr) = zcdotx^2cos zx^2ycos z = zy

Passo 4

Para fz=partial fpartial z, aplicamos a regra do produto em zln(cdots):
fz = 1cdotlnl(x^2ycos zr) + zcdot1x^2ycos zcdotpartialpartial zl(x^2ycos zr)
Aqui x^2y é constante e
partialpartial zl(cos zr) = -sin z,
portanto
partialpartial zl(x^2ycos zr) = x^2y,(-sin z)
e
fz =lnl(x^2ycos zr) + zcdotx^2y(-sin z)x^2ycos z =lnl(x^2ycos zr) - ztan z

Resposta

fx(x,y,z)=2zx, fy(x,y,z)=zy, fz(x,y,z)=lnl(x^2ycos zr)-ztan z

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