Determine fx, fy e fz.
f(x, y, z)=y^-3 / 2 sec (x zy)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=y^-3/2,sec!l(xzyr)
O conteúdo principal que vamos usar é a regra do produto (para fy), a regra da cadeia e a derivada de sec(u), que é sec(u)tan(u), além da derivada de y^-3/2 pelo poder.

Passo 2

Para fx, tratamos y^-3/2 como constante e aplicamos a regra da cadeia em sec(u) com
u=xzy
Temos
partial fpartial x = y^-3/2,ddxl[sec(u)r] = y^-3/2,sec(u)tan(u),partial upartial x = y^-3/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr),zy
Logo,
fx = z,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr)

Passo 3

Para fz, o procedimento é análogo ao de fx, pois u=tfracxzy varia em z. Assim,
partial fpartial z = y^-3/2,sec(u)tan(u),partial upartial z = y^-3/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr),xy,
ou seja,
fz = x,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr)

Passo 4

Para fy, usamos regra do produto em
f=y^-3/2cdotsec(u),
com u=xz/y.
  1. Derivada de y^-3/2:
ddyy^-3/2 = -32,y^-5/2
  1. Derivada de sec(u):
ddysec(u) = sec(u)tan(u),dudy, dudy = ddyl(xzyr) = -,xzy^2
Somando os dois termos,
fy = underbracel(-32,y^-5/2r)sec(u)derivada de y^-3/2 ;+; underbracey^-3/2,sec(u)tan(u),l(-xzy^2r)derivada de sec(u)
Portanto,
fy = -32,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr) ;-; xz,y^-7/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr)

Resposta

fx = z,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr),
fy = -32,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr) ;-; xz,y^-7/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr),
fz = x,y^-5/2,sec!l(tfracxzyr)tan!l(tfracxzyr)

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