Dada
f(x, y)= x^2 y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
prove que f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x, y)= dfracx^2 y^2x^2+y^2, & (x, y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x, y)=(0,0),
e pede para provar que f é diferenciável em (0,0).
O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade de uma função de duas variáveis, que exige (i) existência das derivadas parciais em (0,0) e (ii) que o resto da aproximação linear seja pequeno em comparação à distância ao ponto.]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em (0,0) via quociente incremental. Para a direção x:
partial fpartial x(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto00-0h =0
Analogamente, na direção y:
partial fpartial y(0,0) = limkto0f(0,k)-f(0,0)k =0

Passo 3

Verificar a definição de diferenciabilidade. Seja
R(h,k)=f(h,k)-l(f(0,0) +0cdot h+0cdot kr) =f(h,k)
Precisamos mostrar
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0
Note que, para (h,k)neq(0,0),
|f(h,k)| =h^2,k^2h^2+k^2 <= l(h^2+k^22r)^2h^2+k^2 =(h^2+k^2)^24,(h^2+k^2) =h^2+k^24
Logo, se r=raizh^2+k^2, temos
l|R(h,k)r| <= r^24 Longrightarrow l|tfracR(h,k)rr| <= r^2/4r =r4 ;xrightarrow[rto0];0

Passo 4

Como as derivadas parciais existem e são zero, e o quociente tfracR(h,k)raizh^2+k^2 tende a zero, f satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em (0,0) e o diferencial Df(0,0) é o mapa linear nulo (gradiente (0,0)).

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