Qual condição é necessária para aplicar Rolle em
?
Passo 1
O que a pergunta pede: revelar qual(is) condição(ões) é(são) necessária(s) para aplicar o Teorema de Rolle no intervalo
.
Informações dadas: o enunciado só fornece o intervalo
. Não há mais dados sobre a função — por isso vou listar claramente as condições que uma função deve satisfazer para que o teorema de Rolle possa ser aplicado e explicar por que cada uma é necessária.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Rolle (forma padrão, primeiro sem prova):
Seja uma função tal que
Seja
-
é contínua em , -
é diferenciável em , -
,
e suponha.
Então existe pelo menos um pontotal que .
Agora vou explicar didaticamente o que cada condição significa e por que ela é necessária.
Passo 3
O que significa cada condição (explicação simples):
- Continuidade em
: dizer que é contínua em significa que para todo no intervalo temos . Em linguagem de prova/época de prova: não há “saltos” ou “buracos” no gráfico de dentro do intervalo fechado. - Diferenciabilidade em
: significa que para todo com existe o limite
ou seja,
tem derivada em todos os pontos internos do intervalo (pode falhar nos extremos
e
).
- Igualdade nos extremos
: os valores da função nos pontos finais do intervalo coincidem. -
: o intervalo tem extensão positiva (caso o teorema é trivial e não tem sentido procurar um ponto interno).
Passo 4
Por que cada condição é necessária (intuição e ligação com a prova):
- Necessidade da continuidade em
: a prova de Rolle usa o Teorema do Valor Extremo (Weierstrass), que garante que uma função contínua em um intervalo fechado atinge um máximo e um mínimo. Se não houver continuidade, pode não existir máximo ou mínimo interno e a conclusão pode falhar. - Necessidade da diferenciabilidade em
: a conclusão vem de aplicar o lema de Fermat: se atinge um máximo (ou mínimo) interno em e é diferenciável em , então . Se não for diferenciável em algum ponto interior, Fermat não se aplica ali. - Necessidade de
: se os valores nas extremidades são diferentes, não há garantia de existir um extremo interno onde a função atinge um máximo ou mínimo relativo que force . Exemplo simples: em é contínua e diferenciável, mas e, de fato, não existe com . - Necessidade de
: se não existe intervalo interior , então a afirmação sobre existir fica sem sentido.
Passo 5
Contraexemplos rápidos para fixar:
- Falta de igualdade nos extremos:
em . Aqui é contínua e diferenciável, mas . Não existe com . - Falta de diferenciabilidade interior:
em . Aqui e é contínua, mas não é diferenciável em . Não se pode aplicar Rolle; de fato não existe com porque a derivada não existe em e em a derivada é . - Falta de continuidade em
: se tem um salto interno, pode não haver ponto interno de máximo/minimo adequado; por isso a continuidade no fechado é exigida.
Passo 6
Resumo prático para a prova (o que verificar rápido antes de aplicar Rolle):
- Verificar que o intervalo tem
. - Verificar que
. - Verificar continuidade de
em todo (sem saltos ou buracos nos extremos incluídos). - Verificar diferenciabilidade de
em todo (derivada bem definida para cada ponto interno).
Se todas as quatro condições estiverem satisfeitas, então pode-se aplicar Rolle e concluir que existecom .
Resposta
-
. -
contínua em . -
diferenciável em . -
.