Qual condição é necessária para aplicar Rolle em [a, b] ?

Passo 1

O que a pergunta pede: revelar qual(is) condição(ões) é(são) necessária(s) para aplicar o Teorema de Rolle no intervalo [a,b].
Informações dadas: o enunciado só fornece o intervalo [a,b]. Não há mais dados sobre a função — por isso vou listar claramente as condições que uma função deve satisfazer para que o teorema de Rolle possa ser aplicado e explicar por que cada uma é necessária.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Rolle (forma padrão, primeiro sem prova):
Seja f uma função tal que
  1. f é contínua em [a,b],
  2. f é diferenciável em (a,b),
  3. f(a)=f(b),
    e suponha a<b.
    Então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0.
Agora vou explicar didaticamente o que cada condição significa e por que ela é necessária.

Passo 3

O que significa cada condição (explicação simples):
  • Continuidade em [a,b]: dizer que f é contínua em [a,b] significa que para todo x no intervalo [a,b] temos \lim_{t\to x} f(t)=f(x). Em linguagem de prova/época de prova: não há “saltos” ou “buracos” no gráfico de f dentro do intervalo fechado.
  • Diferenciabilidade em (a,b): significa que para todo x com a<x<b existe o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
ou seja, f tem derivada em todos os pontos internos do intervalo (pode falhar nos extremos a e b).
  • Igualdade nos extremos f(a)=f(b): os valores da função nos pontos finais do intervalo coincidem.
  • a<b: o intervalo tem extensão positiva (caso a=b o teorema é trivial e não tem sentido procurar um ponto interno).

Passo 4

Por que cada condição é necessária (intuição e ligação com a prova):
  • Necessidade da continuidade em [a,b]: a prova de Rolle usa o Teorema do Valor Extremo (Weierstrass), que garante que uma função contínua em um intervalo fechado atinge um máximo e um mínimo. Se não houver continuidade, pode não existir máximo ou mínimo interno e a conclusão pode falhar.
  • Necessidade da diferenciabilidade em (a,b): a conclusão f'\text{(c)}=0 vem de aplicar o lema de Fermat: se f atinge um máximo (ou mínimo) interno em c e f é diferenciável em c, então f'\text{(c)}=0. Se f não for diferenciável em algum ponto interior, Fermat não se aplica ali.
  • Necessidade de f(a)=f(b): se os valores nas extremidades são diferentes, não há garantia de existir um extremo interno onde a função atinge um máximo ou mínimo relativo que force f'\text{(c)}=0. Exemplo simples: f(x)=x em [0,1] é contínua e diferenciável, mas f(0)\neq f(1) e, de fato, não existe c\in(0,1) com f'\text{(c)}=0.
  • Necessidade de a<b: se a=b não existe intervalo interior (a,b), então a afirmação sobre existir c\in(a,b) fica sem sentido.

Passo 5

Contraexemplos rápidos para fixar:
  • Falta de igualdade nos extremos: f(x)=x em [0,1]. Aqui f é contínua e diferenciável, mas f(0)=0\neq1=f(1). Não existe c\in(0,1) com f'\text{(c)}=0.
  • Falta de diferenciabilidade interior: f(x)=|x| em [-1,1]. Aqui f(-1)=f(1)=1 e f é contínua, mas não é diferenciável em 0. Não se pode aplicar Rolle; de fato não existe c\in(-1,1) com f'\text{(c)}=0 porque a derivada não existe em 0 e em x\neq0 a derivada é \pm1.
  • Falta de continuidade em [a,b]: se f tem um salto interno, pode não haver ponto interno de máximo/minimo adequado; por isso a continuidade no fechado é exigida.

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que verificar rápido antes de aplicar Rolle):
  1. Verificar que o intervalo tem a<b.
  2. Verificar que f(a)=f(b).
  3. Verificar continuidade de f em todo [a,b] (sem saltos ou buracos nos extremos incluídos).
  4. Verificar diferenciabilidade de f em todo (a,b) (derivada bem definida para cada ponto interno).
    Se todas as quatro condições estiverem satisfeitas, então pode-se aplicar Rolle e concluir que existe c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0.

Resposta

  1. a<b.
  2. f contínua em [a,b].
  3. f diferenciável em (a,b).
  4. f(a)=f(b).

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