Questão 2. Seja F(x)=\int\left(x^{3}-2 x+4\right) d x.
Calcule F(2).
(A) 8+C
(B) 10+C
(C) 6+C
(D) 12+C
(E) 4+C

Passo 1

O enunciado dá a função (uma primitiva) definida por F(x)=\int\left(x^{3}-2 x+4\right)\,d x e pede que se calcule F(2). As alternativas são:
(A) \,8+C
(B) \,10+C
(C) \,6+C
(D) \,12+C
(E) \,4+C
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é o polinômio \,x^{3}-2x+4.
  • A integral é indefinida, então a primitiva contém uma constante de integração C.
  • Precisa-se apenas do valor da primitiva avaliada em x=2, ou seja, F(2).

Passo 2

Relembrando regras básicas de integração (úteis para fazer passo a passo):
  • Regra da soma: \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  • Regra da constante (multiplicativa): \int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx\quad\text{para constante }a.
  • Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Essas regras permitem integrar um polinômio termo a termo.

Passo 3

Integramos cada termo do polinômio separadamente, aplicando as regras acima.
Para o termo \,x^{3}:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Para o termo -2x: usar a constante -2 e a regra da potência com n=1:
\int -2x\,dx = -2\int x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
Para o termo constante 4:
\int 4\,dx = 4x.
Somando os resultados e incluindo uma única constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}+4x+C.

Passo 4

Agora avaliamos F(x) em x=2. Substituindo x=2 em cada termo:
Calcule cada parte:
\frac{2^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4,
-\,2^{2}=-4,
4\cdot 2=8.
Somando:
F(2)=4-4+8+C=8+C.

Passo 5

Cheque rápido (opcional mas bom para confiança): derivando F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{2}+4x+C obtém-se
F'(x)=x^{3}-2x+4,
que é exatamente o integrando dado — portanto a primitiva está correta.

Resposta

(A) 8+C

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