Ponto(s) de inflexão de f(x) = x^{3}-3 x :

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o(s) ponto(s) de inflexão de f(x)=x^{3}-3x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-3x.
  • Não há restrição de domínio explícita (é um polinômio, portanto definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • O que se espera como resposta: o(s) valor(es) de x onde a concavidade muda e as coordenadas (x,f(x)) desses pontos.

Passo 2

O que é ponto de inflexão (explicação didática): um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade da função muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Uma forma prática de achar candidatos a ponto de inflexão é:
  • calcular a segunda derivada f''(x);
  • resolver f''(x)=0 ou verificar onde f''(x) não está definida (esses são candidatos);
  • verificar se a segunda derivada realmente troca de sinal ao passar por esse ponto (ex.: de negativa para positiva ou de positiva para negativa). Só encontrar f''(x)=0 não garante inflexão — é preciso a troca de sinal.
Vou ensinar as regras de derivação que vou usar:
  • Regra do polinômio (regra da potência): para um monômio \,x^{n}\,,
\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1},
onde n é um número real (aqui inteiro). Isso vale termo a termo em polinômios.
  • A segunda derivada é a derivada da primeira derivada: f''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(f'(x)\big).
  • Interpretação do sinal de f''(x): se f''(x)>0 a função é côncava para cima ali; se f''(x)<0 é côncava para baixo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x) usando a regra da potência termo a termo.
Para f(x)=x^{3}-3x:
  • derivada de x^{3} é 3x^{2} porque aplicamos \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2};
  • derivada de -3x é -3 porque \dfrac{d}{dx}(ax)=a para constante a.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-3.
Também posso fatorar para facilitar:
f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x) derivando f'(x).
Derivada de 3x^{2} é 6x; derivada de -3 é 0. Logo,
f''(x)=6x.
Explicação rápida: a segunda derivada mede a taxa de variação da inclinação. Aqui ela é uma função linear simples, o que facilita verificar mudança de sinal.

Passo 5

Encontrar candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0 e verificando onde f'' não está definida.
Resolver
6x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Como f''(x)=6x é definida para todo x\in\mathbb{R}, não há outros candidatos por singularidade. Então o único candidato é x=0.

Passo 6

Verificar se há troca de sinal em f''(x) ao passar por x=0. Vou testar valores à esquerda e à direita de 0:
  • Para x=-1:
f''(-1)=6(-1)=-6<0,
ou seja, à esquerda de 0 a função é côncava para baixo.
  • Para x=1:
f''(1)=6(1)=6>0,
ou seja, à direita de 0 a função é côncava para cima.
Como f'' muda de negativo para positivo ao atravessar x=0, existe realmente uma troca de concavidade em x=0. Portanto x=0 é ponto de inflexão.

Passo 7

Calcular a ordenada y correspondente para obter a coordenada do ponto de inflexão.
Avaliar f em x=0:
f(0)=0^{3}-3\cdot0=0.
Logo o ponto de inflexão é (0,0).

Passo 8

Para fixar a ideia, mais um exemplo curto e comparativo:
  • Para g(x)=x^{3}, tem-se g''(x)=6x também, daí x=0 é inflexão (mesma mudança de sinal).
  • Para h(x)=x^{4}, tem-se h''(x)=12x^{2}. Aqui h''(0)=0 mas h''(x)\ge0 para todos x: não há troca de sinal (fica zero em 0 e positivo fora), então x=0 NÃO é ponto de inflexão de h. Isso mostra por que verificar a troca de sinal é crucial.
Força aí — é chato no começo, mas com esses passos fica direto achar pontos de inflexão em provas: derivar duas vezes, achar candidatos, testar sinal, e calcular a ordenada.

Resposta

(0,0)

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