Ponto(s) de inflexão de
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o(s) ponto(s) de inflexão de
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição de domínio explícita (é um polinômio, portanto definida para todo
). - O que se espera como resposta: o(s) valor(es) de
onde a concavidade muda e as coordenadas desses pontos.
Passo 2
O que é ponto de inflexão (explicação didática): um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade da função muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Uma forma prática de achar candidatos a ponto de inflexão é:
- calcular a segunda derivada
; - resolver
ou verificar onde não está definida (esses são candidatos); - verificar se a segunda derivada realmente troca de sinal ao passar por esse ponto (ex.: de negativa para positiva ou de positiva para negativa). Só encontrar
não garante inflexão — é preciso a troca de sinal.
Vou ensinar as regras de derivação que vou usar:
- Regra do polinômio (regra da potência): para um monômio
,
onde
é um número real (aqui inteiro). Isso vale termo a termo em polinômios.
- A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
. - Interpretação do sinal de
: se a função é côncava para cima ali; se é côncava para baixo.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
usando a regra da potência termo a termo.
Para
:
- derivada de
é porque aplicamos ; - derivada de
é porque para constante .
Portanto,
Também posso fatorar para facilitar:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
.
Derivada de
é
; derivada de
é
. Logo,
Explicação rápida: a segunda derivada mede a taxa de variação da inclinação. Aqui ela é uma função linear simples, o que facilita verificar mudança de sinal.
Passo 5
Encontrar candidatos a ponto de inflexão resolvendo
e verificando onde
não está definida.
Resolver
Como
é definida para todo
, não há outros candidatos por singularidade. Então o único candidato é
.
Passo 6
Verificar se há troca de sinal em
ao passar por
. Vou testar valores à esquerda e à direita de
:
- Para
:
ou seja, à esquerda de
a função é côncava para baixo.
- Para
:
ou seja, à direita de
a função é côncava para cima.
Como
muda de negativo para positivo ao atravessar
, existe realmente uma troca de concavidade em
. Portanto
é ponto de inflexão.
Passo 7
Calcular a ordenada
correspondente para obter a coordenada do ponto de inflexão.
Avaliar
em
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 8
Para fixar a ideia, mais um exemplo curto e comparativo:
- Para
, tem-se também, daí é inflexão (mesma mudança de sinal). - Para
, tem-se . Aqui mas para todos : não há troca de sinal (fica zero em e positivo fora), então NÃO é ponto de inflexão de . Isso mostra por que verificar a troca de sinal é crucial.
Força aí — é chato no começo, mas com esses passos fica direto achar pontos de inflexão em provas: derivar duas vezes, achar candidatos, testar sinal, e calcular a ordenada.