Questão 1. Considere a função
. Determine onde é crescente.
(A)
ou
(B)
(C) sempre
(D)
(E) nunca
(A)
(B)
(C) sempre
(D)
(E) nunca
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: em que valores de
a função é crescente?
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Pergunta: determinar os intervalos onde
é crescente.
Nenhuma outra informação foi dada.
Passo 2
Ideia-chave (de forma prática e sem nomes difíceis): quando uma função é diferenciável, a maneira mais direta de saber onde ela cresce é olhar o sinal da sua derivada. A derivada
mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto
. Se
em uma região, a função sobe ali (é crescente). Se
, a função desce (é decrescente).
Portanto, o plano é: calcular , achar onde
(os pontos em que o sinal pode mudar) e estudar o sinal de
entre esses pontos.
Portanto, o plano é: calcular
Passo 3
Calcular a derivada de
. Usando a regra do poder (a derivada de
é
) e a linearidade (a derivada de uma soma é a soma das derivadas, multiplicadores saem):
Expliquei: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Encontrar os pontos onde
(pontos críticos):
Dividindo por
:
Então os pontos onde a derivada se anula são
e
.
Passo 5
Analisar o sinal de
. Fatorando:
Os zeros dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Vou testar um ponto simples em cada intervalo para saber o sinal de
:
- Para
(que está em ):
Logo
em
.
- Para
(que está em ):
Logo
em
.
- Para
(que está em ):
Logo
em
.
Conclusão do raciocínio: a derivada é positiva nos intervalos externos e negativa no intervalo central, portanto
é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Dica rápida para a prova: calcule
, resolva
para achar pontos de mudança, e use pontos teste (números inteiros simples) em cada intervalo para determinar sinais. Isso é rápido e confiável.