Questão 1. Considere a função f(x)= x^{3}-6 x. Determine onde é crescente.
(A) x<-2 ou x>2
(B) x>0
(C) sempre
(D) x<0
(E) nunca

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-6x e pede: em que valores de x a função é crescente?
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}-6x.
  • Pergunta: determinar os intervalos onde f é crescente.
    Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Ideia-chave (de forma prática e sem nomes difíceis): quando uma função é diferenciável, a maneira mais direta de saber onde ela cresce é olhar o sinal da sua derivada. A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto x. Se f'(x)>0 em uma região, a função sobe ali (é crescente). Se f'(x)<0, a função desce (é decrescente).
Portanto, o plano é: calcular f'(x), achar onde f'(x)=0 (os pontos em que o sinal pode mudar) e estudar o sinal de f'(x) entre esses pontos.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Usando a regra do poder (a derivada de x^{n} é n x^{n-1}) e a linearidade (a derivada de uma soma é a soma das derivadas, multiplicadores saem):
f(x)=x^{3}-6x\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}-6.
Expliquei: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de -6x é -6.

Passo 4

Encontrar os pontos onde f'(x)=0 (pontos críticos):
3x^{2}-6=0.
Dividindo por 3:
x^{2}-2=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=2\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Então os pontos onde a derivada se anula são x=-\sqrt{2} e x=\sqrt{2}.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x). Fatorando:
f'(x)=3(x^{2}-2)=3(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).
Os zeros dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-\sqrt{2}), (-\sqrt{2},\sqrt{2}) e (\sqrt{2},\infty). Vou testar um ponto simples em cada intervalo para saber o sinal de f'(x):
  • Para x=-2 (que está em (-\infty,-\sqrt{2})):
f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}-6=3\cdot4-6=12-6=6>0.
Logo f'(x)>0 em (-\infty,-\sqrt{2}).
  • Para x=0 (que está em (-\sqrt{2},\sqrt{2})):
f'(0)=3\cdot0^{2}-6=-6<0.
Logo f'(x)<0 em (-\sqrt{2},\sqrt{2}).
  • Para x=2 (que está em (\sqrt{2},\infty)):
f'(2)=3\cdot2^{2}-6=3\cdot4-6=12-6=6>0.
Logo f'(x)>0 em (\sqrt{2},\infty).
Conclusão do raciocínio: a derivada é positiva nos intervalos externos e negativa no intervalo central, portanto f é crescente em (-\infty,-\sqrt{2}) e em (\sqrt{2},\infty), e decrescente em (-\sqrt{2},\sqrt{2}).
Dica rápida para a prova: calcule f'(x), resolva f'(x)=0 para achar pontos de mudança, e use pontos teste (números inteiros simples) em cada intervalo para determinar sinais. Isso é rápido e confiável.

Resposta

(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty)

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