Qual a condição para que três planos se interceptem numa reta?

Passo 1

O enunciado pede a condição para que três planos
P1:;A1x+B1y+C1z+D1=0, P2:;A2x+B2y+C2z+D2=0, P3:;A3x+B3y+C3z+D3=0
tenham como interseção comum uma reta. O conteúdo usado será Álgebra Linear, mais precisamente sistemas lineares e posto (rank) de matrizes.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial , onde
A interseção dos três planos é o conjunto de soluções deste sistema.

Passo 3

Para haver interseção numa reta, o sistema deve ter infinitas soluções com um grau de liberdade, ou seja, dimensão do espaço solução = 1. Em Álgebra Linear, isso equivale a
rank(A)=rankl(A,|!,Dr)=2,
pois temos 3 incógnitas e queremos 3-2=1 grau de liberdade.

Passo 4

A condição rank(A)=2 implica que
det(A)=0
(e portanto os vetores-normais ni=(Ai,Bi,Ci) são linearmente dependentes), mas que exista pelo menos um menor de ordem 2 não-nulo (para garantir rank exatamente 2 e não menor). Como o sistema deve ser consistente, exige-se ainda
rank(A)=rankl(A,|!,Dr)

Resposta

A condição é
rank(A)=rankl(A,|!,Dr)=2,
ou equivalentemente
det(A)=0 e pelo menos um menor de ordem 2 de Aneq0,
com consistência do sistema.

Exercícios relacionados