Qual a condição para que três planos se interceptem numa reta?
Passo 1
O enunciado pede a condição para que três planos
tenham como interseção comum uma reta. O conteúdo usado será Álgebra Linear, mais precisamente sistemas lineares e posto (rank) de matrizes.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial , onde
A interseção dos três planos é o conjunto de soluções deste sistema.
Passo 3
Para haver interseção numa reta, o sistema deve ter infinitas soluções com um grau de liberdade, ou seja, dimensão do espaço solução = 1. Em Álgebra Linear, isso equivale a
pois temos 3 incógnitas e queremos 3-2=1 grau de liberdade.
Passo 4
A condição rank(A)=2 implica que
det(A)=0
(e portanto os vetores-normais ni=(Ai,Bi,Ci) são linearmente dependentes), mas que exista pelo menos um menor de ordem 2 não-nulo (para garantir rank exatamente 2 e não menor). Como o sistema deve ser consistente, exige-se ainda
rank(A)=rankl(A,|!,Dr)
Resposta
A condição é
rank(A)=rankl(A,|!,Dr)=2,
ou equivalentemente
det(A)=0 e pelo menos um menor de ordem 2 de Aneq0,