Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, 1,1) in R^3 mid x in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = (x,1,1)inR^3 mid xinR
é subespaço de R^3.
Para isso, lembramos que um subconjunto WsubseteqR^n é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. 0=(0,0,dots,0)in W.
  2. Para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W.
  3. Para todo escalar lambdainR e todo uin W, tem-se lambdauin W.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
0 = (0,0,0)
Mas em S todos os vetores têm a forma (x,1,1), cuja segunda e terceira entradas são iguais a 1. Portanto
0notin S

Passo 3

Como a condição de conter o vetor zero não é satisfeita, não é necessário checar as outras propriedades. Logo S não pode ser subespaço.

Resposta

S não é subespaço de R^3.

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