O que define unicamente um plano no espaço tridimensional?

Passo 1

O enunciado pergunta qual conjunto de informações basta para determinar de forma única um plano no espaço tridimensional. Isso é parte de Geometria Analítica em R^3: precisamos lembrar em que situações duas dimensões lineares formam exatamente um plano.

Passo 2

Três pontos não colineares definem um plano.
Sejam P1,P2,P3 três pontos tais que os vetores P1P2 e P1P3 não são colineares (isto é, não há lambda com P1P3=lambda,P1P2). Esses dois vetores geram um subespaço bidimensional, e o único plano que contém P1,P2,P3 é
,P1 + s,P1P2 + t,P1P3mid s,tinR

Passo 3

Um vetor normal e um ponto também bastam.
Seja nneq0 um vetor normal ao plano e P0 um ponto que está no plano. A equação
ncdotl(r-r0r)=0
com r0 a posição de P0 define exatamente o conjunto de pontos r cujo deslocamento em relação a P0 é ortogonal a n. Não há outro plano com a mesma normal e passando por P0.

Passo 4

Uma reta e um ponto exterior a ela também determinam um plano.
Dada uma reta L e um ponto Qnotin L, basta o plano conter L e Q. Há infinitos planos que contêm L, mas exigir que Q esteja neles fixa exatamente um desses planos.

Resposta

  • Três pontos não colineares.
  • Um vetor normal e um ponto por onde o plano passa.
  • Uma reta e um ponto que não pertença a essa reta.

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