Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y+z=0

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid x^2 + y + z = 0
e pede para verificar se S é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. 0in W,
  2. para todo u,vin W tem-se u+vin W,
  3. para todo uin W e todo escalar lambdainR tem-se lambdauin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo está em S. Substituindo (0,0,0) na equação que define S:
0^2 + 0 + 0 = 0,
logo 0=(0,0,0)in S.

Passo 3

Investigamos o fechamento sob multiplicação escalar. Escolhemos o vetor
u = (1,-1,0)
Como
1^2 + (-1) + 0 = 0,
temos uin S. Agora tomemos o escalar lambda = 2. Então
2u = (2,-2,0)
Verificando na equação de S:
2^2 + (-2) + 0 = 4 - 2 = 2 neq 0
Isso mostra que 2unotin S, ou seja, S não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Como falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar, S não satisfaz todas as condições para ser subespaço de R^3.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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