Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
, - para todo
tem-se , - para todo
e todo escalar tem-se .
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo está em
. Substituindo
na equação que define
:
logo
.
Passo 3
Investigamos o fechamento sob multiplicação escalar. Escolhemos o vetor
Como
temos
. Agora tomemos o escalar
. Então
Verificando na equação de
:
Isso mostra que
, ou seja,
não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Como falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar,
não satisfaz todas as condições para ser subespaço de
.