A condição para que x² + y²-6x + 4y + (17 - m²) = 0 represente uma circunferência é
a) m≤-2 ou m≤2
b) m < -2 ou m > 2
c) -2
d) -2 m≤2
e) A equação não pode representar uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de $ m $ a equação $ x² + y² - 6x + 4y + (17 - m²) = 0 $ representa uma circunferência. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre a forma geral de uma circunferência e como completamos o quadrado para identificar o raio e o centro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da circunferência. A equação dada é:
x² + y² - 6x + 4y + (17 - m²) = 0 ²²²

Passo 3

Vamos separar os termos de $ x $ e $ y $:
x ²²²

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e $ y $.
Para $ x $:
x ²²
Para $ y $:
y ²²

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = m² - 17 ²
Simplificando os termos constantes:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 = m² - 17 ²
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = m² - 4 ²

Passo 6

A forma padrão da equação de uma circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde $ (h, k) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Comparando com nossa equação:
(h, k) ²
vemos que:
r ²²

Passo 7

Para que a equação represente uma circunferência real, o raio $ r $ precisa ser um número real positivo. Ou seja:
r ²

Passo 8

Resolvendo a inequação:
m² > 4 ²
Isso significa que:
m < -2 ou m > 2

Resposta

A condição para que a equação represente uma circunferência é $ m < -2 $ ou $ m > 2 $. Portanto, a resposta correta é a letra b) m < -2 ou m > 2.

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