A condição para que x² + y²-6x + 4y + (17 - m²) = 0 represente uma circunferência é
a) m≤-2 ou m≤2
b) m < -2 ou m > 2
c) -2
d) -2 m≤2
e) A equação não pode representar uma circunferência.
a) m≤-2 ou m≤2
b) m < -2 ou m > 2
c) -2
d) -2 m≤2
e) A equação não pode representar uma circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de $ m $ a equação $ x² + y² - 6x + 4y + (17 - m²) = 0 $ representa uma circunferência. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre a forma geral de uma circunferência e como completamos o quadrado para identificar o raio e o centro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da circunferência. A equação dada é:
Passo 3
Vamos separar os termos de $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e $ y $.
Para $ x $:
Para $ y $:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
A forma padrão da equação de uma circunferência é:
onde $ (h, k) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Comparando com nossa equação:
vemos que:
Passo 7
Para que a equação represente uma circunferência real, o raio $ r $ precisa ser um número real positivo. Ou seja:
Passo 8
Resolvendo a inequação:
Isso significa que:
Resposta
A condição para que a equação represente uma circunferência é $ m < -2 $ ou $ m > 2 $. Portanto, a resposta correta é a letra b) m < -2 ou m > 2.