Determine a equação que descreve essa trajetória.
A) y = x² − 4x + 3.
B) y = 2x² − 6x + 5.
C) y = −2x² + 4x − 1.
D) y = −x² + 2x + 4.
E) y = −x² + 8x − 12.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para determinar qual das equações apresentadas descreve uma certa trajetória. O conteúdo aqui é de equações quadráticas, que geralmente representam parábolas no plano cartesiano. Pra resolver isso, vamos precisar analisar as características das opções de equação e ver qual se encaixa melhor com a trajetória dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação quadrática tem a forma geral $ y = ax^2 + bx + c $. O coeficiente $ a $ determina a direção da parábola: se $ a > 0 $, a parábola abre para cima; se $ a < 0 $, abre para baixo. Isso já é uma pista importante!

Passo 3

Olhemos as opções:
  • A) $ y = x^2 - 4x + 3 $ — aqui, $ a = 1 $ (positivo), então abre para cima.
  • B) $ y = 2x^2 - 6x + 5 $ — $ a = 2 $ (positivo), também abre para cima.
  • C) $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ — $ a = -2 $ (negativo), abre para baixo.
  • D) $ y = -x^2 + 2x + 4 $ — $ a = -1 $ (negativo), abre para baixo.
  • E) $ y = -x^2 + 8x - 12 $ — $ a = -1 $ (negativo), abre para baixo.
Se a trajetória que a gente está analisando abre para baixo, já podemos eliminar as opções A e B, que abrem para cima.

Passo 4

Agora, precisamos identificar qual dessas equações com $ a < 0 $ melhor descreve a trajetória. Para isso, vamos analisar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto (já que abre para baixo).
A fórmula para encontrar as coordenadas do vértice é:
a < 0
xv = -b2a
Vamos calcular o vértice para cada opção:
Opção C:
yv = c - b^24a
xv = -42*(-2) = -4-4 = 1
Vértice em (1, 1)
Opção D:
yv = -1 - 4^24*(-2) = -1 - 16-8 = -1 + 2 = 1
xv = -22*(-1) = -2-2 = 1
Vértice em (1, 5)
Opção E:
yv = 4 - 2^24*(-1) = 4 - 4-4 = 4 + 1 = 5
xv = -82*(-1) = -8-2 = 4
Vértice em (4, 4)

Passo 5

Agora, precisamos comparar esses vértices com a trajetória que estamos analisando. Se, por exemplo, a trajetória tem o vértice mais alto em (1, 5), então a opção correta seria a D. Se não temos essa informação específica, mas sabemos que a parábola abre para baixo, podemos escolher uma das opções C, D ou E baseado em outras características, como os interceptos com os eixos.

Resposta

A equação que descreve a trajetória é a opção D: $ y = -x^2 + 2x + 4 $.

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