(Condicional e Independência) No lançamento dos dois dados, sabe-se que a soma das faces foi um número par. Qual a probabilidade de:
Ambos os dados terem apresentado o número 4 ?

Passo 1

O enunciado diz: no lançamento de dois dados, sabe-se que a soma das faces é um número par. Pergunta-se qual a probabilidade de ambos os dados terem mostrado o número 4.
Informações relevantes:
  • O espaço amostral sem condição é o conjunto de todos os pares ordenados (i,j) com i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}, total de 36 resultados igualmente prováveis.
  • A informação condicionante é: a soma é par.
    O que se pede: calcular a probabilidade condicional de que ambos sejam 4 dado que a soma é par.

Passo 2

Defino os eventos:
  • A=\{\text{ambos os dados são }4\}=\{(4,4)\}ã.
  • B=\{\text{a soma é par}\}é.
A fórmula de probabilidade condicional é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Explicando a fórmula: P(A\mid B) é a chance de A ocorrer quando já sabemos que B ocorreu; usa-se a razão entre a probabilidade de ambos ocorrerem ( A\cap B) e a probabilidade de B.

Passo 3

Calculo P(B), a probabilidade de a soma ser par. Uma soma é par exatamente quando os dois números têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares).
  • Faces pares em cada dado: \{2,4,6\} (3 opções). Assim, pares-pares dão 3\cdot3=9 resultados.
  • Faces ímpares em cada dado: \{1,3,5\} (3 opções). Assim, ímpares-ímpares dão 3\cdot3=9 resultados.
    Total de resultados com soma par: 9+9=18. Como há 36 resultados igualmente prováveis,
P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calculo P(A\cap B). O evento A é o único resultado (4,4). Esse resultado tem soma 4+4=8, que é par; portanto (4,4)\in B, isto é, A\subseteq B. Logo
P(A\cap B)=P(A)=\frac{1}{36}.

Passo 5

Agora uso a fórmula da Passo 2:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{1}{36}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{36}\cdot\frac{2}{1}=\frac{1}{18}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: sem a condição a probabilidade de (4,4) é \tfrac{1}{36}. sabendo que a soma é par, o espaço condicional tem 18 resultados igualmente prováveis, e apenas um deles é (4,4); por isso a probabilidade condicional é \tfrac{1}{18}. Observação sobre independência: P(A)=\tfrac{1}{36} e P(A\mid B)=\tfrac{1}{18}\neq P(A), então os eventos A e B não são independentes.

Resposta

\dfrac{1}{18}

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