(Sistemas de Redundância) Considere um sistema com dois componentes que operam em paralelo (o sistema funciona se pelo menos um funcionar). Seja
a variável aleatória que representa o valor máximo obtido entre os dois dados (
).
a) Encontre
.
b) Calcule a média
.
c) Se o sistema falha quando
, qual a probabilidade de falha do sistema?
d)
.
e)
.
f)
e interprete por que este valor é maior que 3,5 .
a) Encontre
b) Calcule a média
c) Se o sistema falha quando
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois lançamentos de dado (dois dados) cujos resultados são
e
. Define-se a variável aleatória
, ou seja, o maior valor obtido entre os dois dados. Vou listar claramente o que é pedido e as informações disponíveis:
- Informações dadas (assumidas): cada dado é justo, com faces
, os lançamentos são independentes. Logo o espaço amostral tem resultados equiprováveis. - Perguntas:
a) Calcular.
b) Calcular.
c) Se o sistema falha quando, qual a probabilidade de falha?
d) Calcular.
e) Calcular.
f) Calcular(novamente) e interpretar por que esse valor é maior que .
Passo 2
Primeiro desenvolvemos uma fórmula geral útil: para
,
Pela independência dos dados,
Essa expressão é muito prática: basta substituir
para obter probabilidades do tipo
.
Passo 3
(a) Aplicando a fórmula com
:
Portanto
.
Passo 4
Para calcular esperanças e probabilidades pontuais, é útil obter a função massa de probabilidade de
. Usamos
Com a fórmula do passo anterior:
para
. Vale conferir alguns valores:
Passo 5
(b) Agora calculamos
usando a definição
. Substituindo a expressão obtida:
Calculamos as somas auxiliares passo a passo:
Logo a soma do numerador é
Portanto
Passo 6
(c) O sistema falha quando
. Como os valores possíveis são inteiros de
a
, isso significa
. Assim
Passo 7
(d) Usando a fórmula geral do passo 2 com
:
Passo 8
(e) Para
entendemos
como
. Podemos somar as probabilidades pontuais:
Alternativamente poderia-se usar
:
.
Passo 9
(f) Repetindo o valor de
(já calculado no passo 5):
Interpretação do porquê esse valor é maior que
: a média de um único dado é
. Ao tomar
estamos sempre escolhendo o maior entre duas observações independentes; isso tende a aumentar o valor típico observado. Uma forma elegante de ver isso é usar a identidade
Aqui
, que é maior do que
para muitos
, resultando em uma soma (expectativa) maior que
. Intuitivamente: com dois lançamentos há boa chance de obter um valor grande em pelo menos um dos dados, puxando a média do máximo para cima.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
. Interpretação: o máximo de dois lançamentos tende a ser maior que a média de um único lançamento (
) porque escolher o maior de duas observações favorece valores maiores.