Gestão de Frotas e Habilitações:
Uma transportadora possui
motoristas e monitora as habilitações para transporte de cargas especiais: Produtos Perigosos §, Cargas Indivisíveis (I) e Veículos de Emergência (V). O levantamento apontou:
- 20 motoristas possuem as três habilitações.
- 60 motoristas são habilitados em P e I.
- 50 motoristas são habilitados em I e V.
- 40 motoristas são habilitados em P e V.
- 150 motoristas no total possuem habilitação P.
- 140 motoristas no total possuem habilitação I.
- 120 motoristas no total possuem habilitação V.
Ao selecionar um motorista ao acaso, calcule a probabilidade de:
O motorista ser habilitado exclusivamente para Cargas Indivisíveis (I).
O motorista ser habilitado exclusivamente para Cargas Indivisíveis (I).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Total de motoristas:
. - Quantidades informadas:
-
motoristas possuem as três habilitações (ou seja, ). -
motoristas são habilitados em e (ou seja, ). -
motoristas são habilitados em e (ou seja, ). -
motoristas são habilitados em e (ou seja, ). (este dado não será necessário para a conta final, mas foi informado) - Total com habilitação
: . - Total com habilitação
: . - Total com habilitação
: .
-
- O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, ao escolher um motorista ao acaso, ele seja habilitado exclusivamente para Cargas Indivisíveis (ou seja, pertença a
mas não a nem a ).
Passo 2
Definindo a notação e entendendo o que significa "exclusivamente
".
- Denoto por
o conjunto dos motoristas habilitados em Cargas Indivisíveis. - "Exclusivamente
" significa estar em e não em nem em . Vou chamar esse número de . - Importante: quando o enunciado diz
e , esses números contam também os motoristas que têm as três habilitações ( ). Ou seja, os pares são contagens “inclusive” do triplo.
Passo 3
Montando uma equação para
usando particionamento do conjunto
.
Particionando
em quatro partes disjuntas:
-
: só . -
somente (ou seja, e não ); chamo de . -
somente (ou seja, e não ); chamo de . -
: o triplo, chamo de .
Então
Mas sabemos que
Isolando
e
e substituindo na expressão de
obtemos, após manipulação algébrica:
Esta é a forma particular da ideia de princípio da inclusão-exclusão aplicada para obter os elementos que estão em
mas não nos outros conjuntos.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados (todos retirados do enunciado).
-
. -
. -
. -
.
Substituindo na fórmula:
Calcule passo a passo:
Portanto
. Ou seja, existem cinquenta motoristas que têm apenas a habilitação
.
Passo 5
Agora transformo esse número em probabilidade ao escolher um motorista ao acaso.
A probabilidade buscada é
Simplificando e convertendo para decimal e porcentagem:
Passo 6
Verificação rápida de consistência (sanity check):
é não negativo e menor que
, faz sentido. A probabilidade
está coerente com os números fornecidos.