Gestão de Frotas e Habilitações:
Uma transportadora possui \mathbf{5 0 0} motoristas e monitora as habilitações para transporte de cargas especiais: Produtos Perigosos §, Cargas Indivisíveis (I) e Veículos de Emergência (V). O levantamento apontou:
  • 20 motoristas possuem as três habilitações.
  • 60 motoristas são habilitados em P e I.
  • 50 motoristas são habilitados em I e V.
  • 40 motoristas são habilitados em P e V.
  • 150 motoristas no total possuem habilitação P.
  • 140 motoristas no total possuem habilitação I.
  • 120 motoristas no total possuem habilitação V.
Ao selecionar um motorista ao acaso, calcule a probabilidade de:
O motorista ser habilitado exclusivamente para Cargas Indivisíveis (I).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Total de motoristas: \,500.
  • Quantidades informadas:
    • \,20 motoristas possuem as três habilitações (ou seja, |P\cap I\cap V|=20).
    • \,60 motoristas são habilitados em P e I (ou seja, |P\cap I|=60).
    • \,50 motoristas são habilitados em I e V (ou seja, |I\cap V|=50).
    • \,40 motoristas são habilitados em P e V (ou seja, |P\cap V|=40). (este dado não será necessário para a conta final, mas foi informado)
    • Total com habilitação P: |P|=150.
    • Total com habilitação I: |I|=140.
    • Total com habilitação V: |V|=120.
  • O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, ao escolher um motorista ao acaso, ele seja habilitado exclusivamente para Cargas Indivisíveis (ou seja, pertença a I mas não a P nem a V).

Passo 2

Definindo a notação e entendendo o que significa "exclusivamente I".
  • Denoto por I o conjunto dos motoristas habilitados em Cargas Indivisíveis.
  • "Exclusivamente I" significa estar em I e não em P nem em V. Vou chamar esse número de |I_{\text{only}}|.
  • Importante: quando o enunciado diz |P\cap I|=60 e |I\cap V|=50, esses números contam também os motoristas que têm as três habilitações ( |P\cap I\cap V|=20). Ou seja, os pares são contagens “inclusive” do triplo.

Passo 3

Montando uma equação para |I_{\text{only}}| usando particionamento do conjunto I.
Particionando I em quatro partes disjuntas:
  • I_{\text{only}}: só I.
  • P\cap I somente (ou seja, P\cap I e não V); chamo de b.
  • I\cap V somente (ou seja, I\cap V e não P); chamo de c.
  • P\cap I\cap V: o triplo, chamo de t.
Então
|I| = |I_{\text{only}}| + b + c + t.
Mas sabemos que
|P\cap I| = b + t,\qquad |I\cap V| = c + t.
Isolando b e c e substituindo na expressão de |I| obtemos, após manipulação algébrica:
|I_{\text{only}}| = |I| - |P\cap I| - |I\cap V| + |P\cap I\cap V|.
Esta é a forma particular da ideia de princípio da inclusão-exclusão aplicada para obter os elementos que estão em I mas não nos outros conjuntos.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados (todos retirados do enunciado).
  • |I| = 140.
  • |P\cap I| = 60.
  • |I\cap V| = 50.
  • |P\cap I\cap V| = 20.
Substituindo na fórmula:
|I_{\text{only}}| = 140 - 60 - 50 + 20.
Calcule passo a passo:
140 - 60 = 80,
80 - 50 = 30,
30 + 20 = 50.
Portanto |I_{\text{only}}| = 50. Ou seja, existem cinquenta motoristas que têm apenas a habilitação I.

Passo 5

Agora transformo esse número em probabilidade ao escolher um motorista ao acaso.
A probabilidade buscada é
\Pr(\text{exclusivamente }I)=\frac{|I_{\text{only}}|}{\text{total}}=\frac{50}{500}.
Simplificando e convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{50}{500}=\frac{1}{10}=0{,}1=10\%.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (sanity check): |I_{\text{only}}|=50 é não negativo e menor que |I|=140, faz sentido. A probabilidade 10\% está coerente com os números fornecidos.

Resposta

\dfrac{50}{500}=\dfrac{1}{10}=0{,}1=10\%

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