Suponha que uma característica X de qualidade é mensurada e que os gráficos de controle \bar{X} e S usados na averiguação do processo têm exibido controle estatístico. Dados oriundos de amostras de tamanho n=6 levam-nos as informações resumidas na tabela abaixo:
Gráfico \bar{x} Gráfico S
L.S.C. =708,20 L.S.C. =3.420
L.C. =706 L.C. =1,738
L.I.C. =703,80 L.I.C. =0,052
a) Com base nas informações prestadas, estime a média e o desvio padrão do processo.
b) Suponha que a média do processo se desloca para 708, enquanto o desvio padrão se mantém constante. Determine a probabilidade de não se detectar tal deslocamento no gráfico \bar{x} na primeira amostra subsequente.
c) Para o deslocamento citado no item (b), determine a probabilidade de o mesmo seja detectado até a terceira amostra subsequente.

Passo 1

O enunciado dá informações sobre os gráficos de controle \bar{X} e S para amostras de tamanho n=6. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
    • Para o gráfico \bar{x}:
      • Limite superior de controle (L.S.C.) =708{,}20
      • Linha central (L.C.) =706
      • Limite inferior de controle (L.I.C.) =703{,}80
    • Para o gráfico S:
      • Limite superior de controle (L.S.C.) =3{,}420
      • Linha central (L.C.) =1{,}738
      • Limite inferior de controle (L.I.C.) =0{,}052
  • Tamanho da amostra: n=6.
Perguntas do enunciado:
a) Estimar a média e o desvio padrão do processo.
b) Supondo que a média desloca-se para 708 (desvio padrão constante), determinar a probabilidade de NÃO detectar esse deslocamento no gráfico \bar{x} na primeira amostra subsequente.
c) Para o mesmo deslocamento, determinar a probabilidade de que ele seja detectado até a terceira amostra subsequente.

Passo 2

Interpretação das informações de controle (o que cada número representa):
  • A linha central do gráfico \bar{x}, 706, é a estimativa do valor médio de longo prazo do processo, ou seja a estimativa de \mu baseada nas amostras. Então uma estimativa natural para a média do processo é
\hat{\mu} = 706.
  • A linha central do gráfico S, 1{,}738, é a média das desvios-padrão amostrais \bar{S}:
\bar{S} = 1{,}738.
Isso significa que, em média, cada amostra de tamanho 6 teve desvio-padrão 1{,}738.
Agora precisamos relacionar \bar{S} com o desvio-padrão do processo \sigma. Para isso uso a propriedade estatística (padrão em controle estatístico de processo):
\mathbb{E}(\bar{S}) = c_4(n)\,\sigma,
onde c_4(n) é uma constante que depende do tamanho da amostra n. Portanto uma estimativa do desvio-padrão do processo é
\hat{\sigma} = \frac{\bar{S}}{c_4(n)}.

Passo 3

Cálculo da constante c_4 para n=6 e estimativa de \sigma.
  • A fórmula exata para c_4(n) é
c_4(n)=\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)},
onde \Gamma é a função gama. Para n=6 temos \dfrac{n}{2}=3 e \dfrac{n-1}{2}=2{,}5. Sabendo valores da função gama:
\Gamma(3)=2,\qquad \Gamma(2{,}5)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\approx 1{,}329340388.
Logo
c_4(6)=\sqrt{\frac{2}{5}}\cdot\frac{2}{1{,}329340388}\approx 0{,}951463.
  • Estimativa do desvio-padrão do processo:
\hat{\sigma}=\frac{\bar{S}}{c_4(6)}=\frac{1{,}738}{0{,}951463}\approx 1{,}827.
Vou explicar rapidamente o significado: \bar{S} é um estimador tendencioso para \sigma (tende a subestimar), e o fator c_4 corrige esse viés; por isso dividimos \bar{S} por c_4 para obter \hat{\sigma}.

Passo 4

Verificação rápida (consistência com o gráfico \bar{x}) — comentário didático opcional:
Os limites do gráfico \bar{x} seguem a forma geral
\text{L.S.C.}=\hat{\mu}+A_3\,\bar{S},\qquad \text{L.I.C.}=\hat{\mu}-A_3\,\bar{S},
onde A_3 é uma constante para n. A partir dos dados dados:
A_3=\frac{\text{L.S.C.}-\text{L.C.}}{\bar{S}}=\frac{708{,}20-706}{1{,}738}\approx 1{,}265.
Isso apenas confirma que os limites informados são consistentes com a estrutura usual (não precisamos do valor teórico de A_3 para responder as perguntas, só é uma checagem).

Passo 5

Resposta do item (a) (já calculada nos passos anteriores, com explicação):
  • Estimativa da média do processo:
\hat{\mu}=706.
  • Estimativa do desvio-padrão do processo:
\hat{\sigma}\approx 1{,}827.

Passo 6

Preparação para o item (b): distribuição amostral do \bar{X} quando a média se desloca.
Supondo que o processo continue com distribuição aproximadamente normal e que o desvio-padrão real seja \sigma=\hat{\sigma} calculado, se a média real desloca-se para \mu_1=708 então, para amostras de tamanho n=6, a média amostral tem distribuição aproximada
\bar{X}\sim N\!\left(\mu_1,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Já calculamos \sigma\approx 1{,}827. Assim
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}827}{\sqrt{6}}\approx 0{,}7455.
Detectar o deslocamento na primeira amostra significa que \bar{X} caia fora dos limites [\text{L.I.C.},\text{L.S.C.}]=[703{,}80,\,708{,}20]. A probabilidade de NÃO detectar (ou seja, de \bar{X} permanecer entre os limites) é
P\big(703{,}80\le \bar{X}\le 708{,}20\;\big|\;\mu_1=708\big).

Passo 7

Cálculo numérico da probabilidade do item (b).
  • Calculo dos z-scores padronizados:
z_u=\frac{708{,}20-708}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{0{,}20}{0{,}7455}\approx 0{,}2683,
z_\ell=\frac{703{,}80-708}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{-4{,}20}{0{,}7455}\approx -5{,}6343.
  • Usando a função de distribuição normal padrão \Phi:
P\big(703{,}80\le \bar{X}\le 708{,}20\big)=\Phi(z_u)-\Phi(z_\ell)\approx \Phi(0{,}2683)-\Phi(-5{,}6343).
Como \Phi(-5{,}6343) é praticamente 0, obtemos
P(\text{não detectar na 1ª amostra})\approx \Phi(0{,}2683)\approx 0{,}6059.ãª
Interpretação: há cerca de 60{,}6\% de chance de que, apesar do deslocamento da média para 708, a primeira amostra tenha média dentro dos limites e o deslocamento não seja sinalizado.

Passo 8

Cálculo do item (c): probabilidade de detectar o deslocamento até a terceira amostra subsequente.
  • Assumo amostras independentes (hipótese padrão neste tipo de análise). Seja p a probabilidade de NÃO detectar o deslocamento numa amostra (calculada no item (b)):
p \approx 0{,}6059.
  • A probabilidade de NÃO detectar em nenhuma das três amostras independentes é p^3.
  • Logo a probabilidade de detectar pelo menos uma vez em até três amostras é
1-p^3 \approx 1-(0{,}6059)^3 \approx 1-0{,}2225 \approx 0{,}7775.
Interpretação: há cerca de 77{,}8\% de chance de que o deslocamento para 708 seja detectado em até três amostras.

Resposta

a) \hat{\mu}=706 \
a) \hat{\sigma}\approx 1{,}827 \
b) P(\text{não detectar na 1ª amostra})\approx 0{,}6059㪠\
c) P(\text{detectar em até 3 amostras})\approx 0{,}7775é

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