Suponha que uma característica X de qualidade é mensurada e que os gráficos de controle \bar{X} e S usados na averiguação do processo têm exibido controle estatístico. Dados oriundos de amostras de tamanho n=6 levam-nos as informações resumidas na tabela abaixo:
Gráfico \bar{x}
Gráfico S
L.S.C. =708,20
L.S.C. =3.420
L.C. =706
L.C. =1,738
L.I.C. =703,80
L.I.C. =0,052
a) Com base nas informações prestadas, estime a média e o desvio padrão do processo.
b) Suponha que a média do processo se desloca para 708, enquanto o desvio padrão se mantém constante. Determine a probabilidade de não se detectar tal deslocamento no gráfico \bar{x} na primeira amostra subsequente.
c) Para o deslocamento citado no item (b), determine a probabilidade de o mesmo seja detectado até a terceira amostra subsequente.
Passo 1
O enunciado dá informações sobre os gráficos de controle \bar{X} e S para amostras de tamanho n=6. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Para o gráfico \bar{x}:
Limite superior de controle (L.S.C.) =708{,}20
Linha central (L.C.) =706
Limite inferior de controle (L.I.C.) =703{,}80
Para o gráfico S:
Limite superior de controle (L.S.C.) =3{,}420
Linha central (L.C.) =1{,}738
Limite inferior de controle (L.I.C.) =0{,}052
Tamanho da amostra: n=6.
Perguntas do enunciado:
a) Estimar a média e o desvio padrão do processo.
b) Supondo que a média desloca-se para 708 (desvio padrão constante), determinar a probabilidade de NÃO detectar esse deslocamento no gráfico \bar{x} na primeira amostra subsequente.
c) Para o mesmo deslocamento, determinar a probabilidade de que ele seja detectado até a terceira amostra subsequente.
Passo 2
Interpretação das informações de controle (o que cada número representa):
A linha central do gráfico \bar{x}, 706, é a estimativa do valor médio de longo prazo do processo, ou seja a estimativa de \mu baseada nas amostras. Então uma estimativa natural para a média do processo é
\hat{\mu} = 706.
A linha central do gráfico S, 1{,}738, é a média das desvios-padrão amostrais \bar{S}:
\bar{S} = 1{,}738.
Isso significa que, em média, cada amostra de tamanho 6 teve desvio-padrão 1{,}738.
Agora precisamos relacionar \bar{S} com o desvio-padrão do processo \sigma. Para isso uso a propriedade estatística (padrão em controle estatístico de processo):
\mathbb{E}(\bar{S}) = c_4(n)\,\sigma,
onde c_4(n) é uma constante que depende do tamanho da amostra n. Portanto uma estimativa do desvio-padrão do processo é
\hat{\sigma} = \frac{\bar{S}}{c_4(n)}.
Passo 3
Cálculo da constante c_4 para n=6 e estimativa de \sigma.
Vou explicar rapidamente o significado: \bar{S} é um estimador tendencioso para \sigma (tende a subestimar), e o fator c_4 corrige esse viés; por isso dividimos \bar{S} por c_4 para obter \hat{\sigma}.
Passo 4
Verificação rápida (consistência com o gráfico \bar{x}) — comentário didático opcional:
Os limites do gráfico \bar{x} seguem a forma geral
Isso apenas confirma que os limites informados são consistentes com a estrutura usual (não precisamos do valor teórico de A_3 para responder as perguntas, só é uma checagem).
Passo 5
Resposta do item (a) (já calculada nos passos anteriores, com explicação):
Estimativa da média do processo:
\hat{\mu}=706.
Estimativa do desvio-padrão do processo:
\hat{\sigma}\approx 1{,}827.
Passo 6
Preparação para o item (b): distribuição amostral do \bar{X} quando a média se desloca.
Supondo que o processo continue com distribuição aproximadamente normal e que o desvio-padrão real seja \sigma=\hat{\sigma} calculado, se a média real desloca-se para \mu_1=708 então, para amostras de tamanho n=6, a média amostral tem distribuição aproximada
Detectar o deslocamento na primeira amostra significa que \bar{X} caia fora dos limites [\text{L.I.C.},\text{L.S.C.}]=[703{,}80,\,708{,}20]. A probabilidade de NÃO detectar (ou seja, de \bar{X} permanecer entre os limites) é
P(\text{não detectar na 1ª amostra})\approx \Phi(0{,}2683)\approx 0{,}6059.ãª
Interpretação: há cerca de 60{,}6\% de chance de que, apesar do deslocamento da média para 708, a primeira amostra tenha média dentro dos limites e o deslocamento não seja sinalizado.
Passo 8
Cálculo do item (c): probabilidade de detectar o deslocamento até a terceira amostra subsequente.
Assumo amostras independentes (hipótese padrão neste tipo de análise). Seja p a probabilidade de NÃO detectar o deslocamento numa amostra (calculada no item (b)):
p \approx 0{,}6059.
A probabilidade de NÃO detectar em nenhuma das três amostras independentes é p^3.
Logo a probabilidade de detectar pelo menos uma vez em até três amostras é
Interpretação: há cerca de 77{,}8\% de chance de que o deslocamento para 708 seja detectado em até três amostras.
Resposta
a) \hat{\mu}=706 \
a) \hat{\sigma}\approx 1{,}827 \
b) P(\text{não detectar na 1ª amostra})\approx 0{,}6059㪠\
c) P(\text{detectar em até 3 amostras})\approx 0{,}7775é