As condições atmosféricas da Terra variam um pouco. Em um certo dia a temperatura ao nível do mar é de 280,37 \mathrm{~K} e o nível do mar a pressão é de 97866,63 \mathrm{~Pa}. Um avião em cima registra uma temperatura do ar de 268,15 \mathrm{~K} e uma pressão de 82.737,10 \mathrm{~Pa}. Estimativa a altitude do avião, em metros.

Passo 1

O enunciado dá a pressão e a temperatura ao nível do mar e na altitude do avião:
p_0 = 97866{,}63\text{ Pa},\quad T_0 = 280{,}37\text{ K},
p = 82737{,}10\text{ Pa},\quad T = 268{,}15\text{ K}.
O conteúdo aqui é a fórmula barométrica para a troposfera, que assume um gradiente linear de temperatura T(z)=T_0 - L\,z com lapse rate L. Vamos usar o valor padrão L=0{,}0065\text{ K/m}, a aceleração da gravidade g=9{,}80665\text{ m/s}^2 e a constante dos gases para o ar seco R=287{,}05\text{ J/(kg·K)}.

Passo 2

Da integração da equação hidrostática com T(z)=T_0 - L\,z obtemos a relação
p = p_0 \,\Bigl(\frac{T(z)}{T_0}\Bigr)^{\frac{g}{R\,L}}.
Como em z a temperatura é T=T_0 - L\,z, basta inverter essa expressão para achar z.

Passo 3

Isolando z vem
\frac{p}{p_0} = \Bigl(1 - \frac{L\,z}{T_0}\Bigr)^{\frac{g}{R\,L}} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{L\,z}{T_0} = \Bigl(\frac{p}{p_0}\Bigr)^{\frac{R\,L}{g}}
\therefore z = \frac{T_0}{L}\,\Biggl[\,1 - \Bigl(\frac{p}{p_0}\Bigr)^{\frac{R\,L}{g}}\Biggr].

Passo 4

Calculamos cada parte:
\frac{p}{p_0} = \frac{82737{,}10}{97866{,}63} \approx 0{,}8456, \quad \frac{R\,L}{g} = \frac{287{,}05\cdot0{,}0065}{9{,}80665}\approx0{,}1903.
Então
\Bigl(\tfrac{p}{p_0}\Bigr)^{\tfrac{R\,L}{g}} \approx 0{,}8456^{0{,}1903} \approx 0{,}9685.
Logo
z = \frac{280{,}37}{0{,}0065}\,\bigl(1 - 0{,}9685\bigr) \approx 43134{,}6 \times 0{,}0315 \approx 1360\text{ m}.

Resposta

A altitude estimada do avião é de aproximadamente 1360 metros.

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