Os engenheiros às vezes usam a seguinte fórmula para a vazão volumétrica [\mathrm{Q}]=\left[\mathrm{L}^{3} \mathrm{~T}^{-1}\right] de um líquido que flui através de um orifício de diâmetro [\mathrm{D}]=[\mathrm{L}] na lateral de um tanque:
Q=0,68 D^{2} \sqrt{g h}
onde [\mathrm{g}]=\left[\mathrm{LT}^{-2}\right] é a aceleração da gravidade \mathrm{e}[\mathrm{h}]=[\mathrm{L}] é a altura da superfície do líquido acima do orifício. Quais são as dimensões da constante 0,68 ?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula empírica
Q = 0,68\,D^{2}\sqrt{g\,h}
para a vazão volumétrica Q, onde as dimensões são
[\mathrm{Q}]=[L^{3}T^{-1}], [\mathrm{D}]=[L], [\mathrm{g}]=[L\,T^{-2}] e [\mathrm{h}]=[L]. O objetivo é determinar as dimensões da constante numérica 0,68.

Passo 2

Vamos encontrar as dimensões do termo D^{2}\sqrt{g\,h} sem a constante. Primeiro,
[D^{2}] = [L]^{2} = [L^{2}].
Em seguida,
[g\,h] = [L\,T^{-2}]\,[L] = [L^{2}\,T^{-2}],
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\sqrt{g\,h} = \sqrt{[L^{2}\,T^{-2}]} = [L\,T^{-1}].

Passo 3

Agora combinamos os dois fatores:
[D^{2}]\;\times\;\bigl[\sqrt{g\,h}\bigr] = [L^{2}]\,[L\,T^{-1}] = [L^{3}\,T^{-1}].

Passo 4

Para que a fórmula seja dimensionalmente consistente, a constante 0,68 deve ter dimensões que convertam
[D^{2}\sqrt{g\,h}]=[L^{3}T^{-1}]
em
[\mathrm{Q}]=[L^{3}T^{-1}]. Assim, escrevemos
[0,68] \;=\; \frac{[\mathrm{Q}]}{[D^{2}\sqrt{g\,h}]} \;=\; \frac{[L^{3}T^{-1}]}{[L^{3}T^{-1}]} \;=\; [\,1\,].

Resposta

A constante 0,68 é adimensional (suas dimensões são unitárias).

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