1. Quais as condições para que uma determinada estrutura exiba ressonância?

Passo 1

O enunciado pergunta quais condições uma estrutura deve satisfazer para exibir ressonância. O conteúdo envolve análise de vibrações forçadas em sistemas lineares de um grau de liberdade, em que vamos precisar do modelo massa-mola-amortecedor, da definição de frequência natural e da resposta em frequência do sistema.

Passo 2

Modelamos a estrutura como um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a força harmônica externa. A equação de movimento é
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = F_{0}\cos(\omega t),
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento, k a rigidez, F_{0} a amplitude da força e \omega a frequência de excitação. A frequência natural do sistema é
\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}},
e a razão de amortecimento é
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_{n}}.

Passo 3

No regime estacionário, a amplitude de vibração X(\omega) em função de \omega é dada pela função de resposta em frequência
\bigl|H(\jmath\omega)\bigr| = \frac{X(\omega)}{F_{0}} = \frac{1}{\sqrt{\bigl(1 - (\omega/\omega_{n})^{2}\bigr)^{2} + \bigl(2\,\zeta\,\omega/\omega_{n}\bigr)^{2}}}\,.

Passo 4

Para que haja ressonância, esta função de resposta deve apresentar um pico pronunciado. Esse pico ocorre quando a derivada de \bigl|H(\jmath\omega)\bigr| em relação a \omega anula-se, o que leva à condição aproximada
\omega \approx \omega_{n}\sqrt{1 - 2\,\zeta^{2}}\approx \omega_{n} \quad\text{(se \(\zeta\ll1\)).}
Além de iguais (ou muito próximas) a \omega e \omega_{n}, é fundamental que o amortecimento seja baixo, isto é, \zeta pequeno, para que o pico de amplitude seja acentuado e a resposta em frequência apresente um máximo bem definido.

Resposta

  1. A estrutura deve ser sujeita a excitação periódica harmônica (força F_{0}\cos(\omega t)).
  2. A frequência de excitação \omega deve coincidir (ou ficar muito próxima) da frequência natural \omega_{n}=\sqrt{k/m}.
  3. O amortecimento relativo \zeta=c/(2m\omega_{n}) deve ser pequeno, garantindo um pico pronunciado na resposta em frequência.

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