Que condições devem ser impostas a k para que o sistema abaixo nas incógnitas x; y e z : (a) Tenha solução única; (b) Não tenha solução; (c) Tenha infinitas soluções. (Indique claramente todas as operações elementares efetuadas nas linhas da matriz aumentada do sistema)
\left\{\begin{array}{r} k x-2 y+4 z=2 \\\ x-2 k y+2 z=1 \\\ x-2 y+k z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear em x,y,z\): \[\begin{cases} k x-2 y+4 z=2,\\[4pt] x-2 k y+2 z=1,\\[4pt] x-2 y+k z=1. \end{cases}
O que se pede é determinar todas as condições sobre (k] para que o sistema:
(a) tenha solução única;
(b) não tenha solução;
(c) tenha infinitas soluções.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dependem do parâmetro k e o vetor dos termos independentes é (2,1,1)^T. A solução do problema exige estudar como o posto da matriz de coeficientes e o da matriz aumentada variam conforme k (ou, equivalentemente, verificar quando o determinante da matriz de coeficientes é nulo ou não).]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema e efetuar operações elementares nas linhas, indicando cada operação claramente. A matriz aumentada inicial é
\left[\; \begin{array}{ccc|c} k & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2k & 2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & k & 1 \end{array}\;\right].
Operação 1: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 (para ter um pivô 1 na primeira linha):
\text{R}_1 \leftrightarrow \text{R}_2
ficando
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2k & 2 & 1\\[4pt] k & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & k & 1 \end{array}\;\right].
Operação 2: eliminar a entrada (2,1) usando \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - k\text{R}_1:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - k\text{R}_1
Operação 3: eliminar a entrada (3,1) usando \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1
Aplicando essas duas operações obtemos
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2k & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 + 2k^2 & 4-2k & 2-k\\[4pt] 0 & -2 + 2k & k-2 & 0 \end{array}\;\right].
Agora simplifico fatorando constantes:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2k & 2 & 1\\[4pt] 0 & 2(k^2-1) & 2(2-k) & 2-k\\[4pt] 0 & 2(k-1) & -(2-k) & 0 \end{array}\;\right].]

Passo 3

A partir daqui é conveniente dividir a análise segundo valores de k que anulam os pivôs que apareciam (ou seja, onde aparecem fatores k\pm1 ou k-2 etc.). Antes, faço um comentário teórico rápido e prático: se a matriz de coeficientes tiver determinante diferente de zero então o sistema tem solução única; se o determinante for zero precisamos comparar postos da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para decidir entre impossível ou infinitas soluções. Vou calcular o determinante da matriz de coeficientes (é mais rápido e dará o conjunto de k a tratar separadamente).
Matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & -2 & 4\\[4pt] 1 & -2k & 2\\[4pt] 1 & -2 & k \end{pmatrix}.
Calculo \det(A) (expansão ou operação direta). Fazendo a expansão por cofactores na primeira linha:
\det(A)=k\det\begin{pmatrix}-2k & 2\\[4pt]-2 & k\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & k\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}1 & -2k\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Calculando cada determinante 2×2:
\det(A)=k\big((-2k)k - 2(-2)\big)+2\big(1\cdot k - 2\cdot1\big)+4\big(1\cdot(-2)-(-2k)\cdot1\big).
\det(A)=k(-2k^2+4)+2(k-2)+4(-2+2k).
\det(A)=-2k^3+4k+2k-4+8k-8=-2k^3+14k-12.
Fatorando:
\det(A)=-2\big(k^3-7k+6\big)=-2(k-1)(k+3)(k-2).
Portanto os valores críticos são k=1,\\ k=-3,\\ k=2, pois nesses \det(A)=0. Para todo k diferente desses três valores temos \det(A)\neq 0 e, por consequência, solução única. Isso já responde a parte (a) em grande parte: para k\notin\{1,-3,2\} há solução única. Agora precisamos analisar detalhadamente os três casos k=1,\\ k=-3,\\ k=2 para decidir entre “sem solução” ou “infinitas soluções”. Vou mostrar as operações nas linhas da matriz aumentada nesses casos.]

Passo 4

Caso k=1. Substituo k=1 na matriz aumentada inicial e refaço operações (explicito as operações):
Matriz inicial com k=1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\;\right].
Operação A1: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\;\right].
Operação A2: \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -1 \end{array}\;\right].
Agora observe as últimas duas linhas: elas correspondem às equações -2z=-1 e -3z=-1. Essas duas equações são incompatíveis entre si (levam a z=\tfrac12 e z=\tfrac{1}{3} simultaneamente), logo o sistema é inconsistente. Conclusão: para k=1 o sistema não tem solução.]

Passo 5

Caso k=-3. Substituo k=-3 na matriz aumentada e repito operações:
Matriz inicial com k=-3:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} -3 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & -3 & 1 \end{array}\;\right].
Operação B1: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter pivô 1:
\text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & 2 & 1\\[4pt] -3 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & -3 & 1 \end{array}\;\right].
Operação B2: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 +3\text{R}_1 (eliminar primeira coluna da 2ª linha):
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 16 & 10 & 5\\[4pt] 1 & -2 & -3 & 1 \end{array}\;\right].
Operação B3: \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 16 & 10 & 5\\[4pt] 0 & -8 & -5 & 0 \end{array}\;\right].
Operação B4: agora elimino segunda coluna da terceira linha usando \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 +\tfrac{1}{2}\text{R}_2 (note que \tfrac{1}{2}\text{R}_2=(0,8,5,2{,}5)):
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 +\tfrac{1}{2}\text{R}_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 16 & 10 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2{,}5 \end{array}\;\right].
A última linha é 0x+0y+0z=2{,}5, isto é, 0=2{,}5, impossível. Então o sistema é inconsistente. Conclusão: para k=-3 não há solução.]

Passo 6

Caso k=2. Substituo k=2 na matriz aumentada e refaço operações:
Matriz inicial com k=2:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 2 & 1 \end{array}\;\right].
Operação C1: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 2 & 1 \end{array}\;\right].
Operação C2: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 2 & 1 \end{array}\;\right].
Operação C3: \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1:
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0 \end{array}\;\right].
Operação C4: simplifico a segunda linha dividindo por 2: \text{R}_2\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_2 (opcional) e depois elimino a segunda coluna da terceira linha:
\text{R}_2\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_2 \;\text{(ficando }(0,3,0,0)\text{)};\quad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac{2}{3}\text{R}_2.
Após essas operações obtemos efetivamente uma matriz com a terceira linha zero (todos coeficientes e termo independente nulos):
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\;\right].
Isso representa duas equações independentes em três incógnitas, portanto sistema consistente com um grau de liberdade (infinitas soluções). Resumindo para k=2 obtemos infinitas soluções (por exemplo y=0 e x+2z=1, ou parametrize z=t, x=1-2t, y=0).]

Passo 7

Resumo das conclusões, com justificativa curta baseada nas operações e no determinante:
  • Se \det(A)\neq 0 (isto é, k\notin\{1,-3,2\}), então a matriz de coeficientes tem posto 3 e o sistema tem solução única. (A determinação do determinante foi feita no Passo 3.)
  • Para k=1 e k=-3 a redução por linhas levou a uma linha da forma 0= c com c\neq 0, então a matriz aumentada tem posto maior do que a matriz de coeficientes e o sistema é inconsistent (sem solução).
  • Para k=2 a redução por linhas deu posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz aumentada e menor que 3, logo o sistema é consistente com infinitas soluções.

Resposta

(a) k\notin\{1,-3,2\} (solução única).
(b) k=1 ou k=-3 (não tem solução).
(c) k=2 (infinitas soluções).

Exercícios relacionados