Que condições devem ser impostas a k para que o sistema abaixo nas incógnitas x; y e z : (a) Tenha solução única; (b) Não tenha solução; (c) Tenha infinitas soluções. (Indique claramente todas as operações elementares efetuadas nas linhas da matriz aumentada do sistema)
\left\{\begin{array}{r} k x-2 y+4 z=2 \\\ x-2 k y+2 z=1 \\\ x-2 y+k z=1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear em x,y,z\):
\[\begin{cases} k x-2 y+4 z=2,\\[4pt] x-2 k y+2 z=1,\\[4pt] x-2 y+k z=1. \end{cases}
O que se pede é determinar todas as condições sobre (k] para que o sistema:
(a) tenha solução única;
(b) não tenha solução;
(c) tenha infinitas soluções.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dependem do parâmetro k e o vetor dos termos independentes é (2,1,1)^T. A solução do problema exige estudar como o posto da matriz de coeficientes e o da matriz aumentada variam conforme k (ou, equivalentemente, verificar quando o determinante da matriz de coeficientes é nulo ou não).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema e efetuar operações elementares nas linhas, indicando cada operação claramente. A matriz aumentada inicial é
A partir daqui é conveniente dividir a análise segundo valores de k que anulam os pivôs que apareciam (ou seja, onde aparecem fatores k\pm1 ou k-2 etc.). Antes, faço um comentário teórico rápido e prático: se a matriz de coeficientes tiver determinante diferente de zero então o sistema tem solução única; se o determinante for zero precisamos comparar postos da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para decidir entre impossível ou infinitas soluções. Vou calcular o determinante da matriz de coeficientes (é mais rápido e dará o conjunto de k a tratar separadamente).
Matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & -2 & 4\\[4pt] 1 & -2k & 2\\[4pt] 1 & -2 & k \end{pmatrix}.
Calculo \det(A) (expansão ou operação direta). Fazendo a expansão por cofactores na primeira linha:
\det(A)=k\big((-2k)k - 2(-2)\big)+2\big(1\cdot k - 2\cdot1\big)+4\big(1\cdot(-2)-(-2k)\cdot1\big).
\det(A)=k(-2k^2+4)+2(k-2)+4(-2+2k).
\det(A)=-2k^3+4k+2k-4+8k-8=-2k^3+14k-12.
Fatorando:
\det(A)=-2\big(k^3-7k+6\big)=-2(k-1)(k+3)(k-2).
Portanto os valores críticos são k=1,\\ k=-3,\\ k=2, pois nesses \det(A)=0. Para todo k diferente desses três valores temos \det(A)\neq 0 e, por consequência, solução única. Isso já responde a parte (a) em grande parte: para k\notin\{1,-3,2\} há solução única. Agora precisamos analisar detalhadamente os três casos k=1,\\ k=-3,\\ k=2 para decidir entre “sem solução” ou “infinitas soluções”. Vou mostrar as operações nas linhas da matriz aumentada nesses casos.]
Passo 4
Caso k=1. Substituo k=1 na matriz aumentada inicial e refaço operações (explicito as operações):
Matriz inicial com k=1:
Agora observe as últimas duas linhas: elas correspondem às equações -2z=-1 e -3z=-1. Essas duas equações são incompatíveis entre si (levam a z=\tfrac12 e z=\tfrac{1}{3} simultaneamente), logo o sistema é inconsistente. Conclusão: para k=1 o sistema não tem solução.]
Passo 5
Caso k=-3. Substituo k=-3 na matriz aumentada e repito operações:
Matriz inicial com k=-3:
Operação B4: agora elimino segunda coluna da terceira linha usando \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 +\tfrac{1}{2}\text{R}_2 (note que \tfrac{1}{2}\text{R}_2=(0,8,5,2{,}5)):
Operação C4: simplifico a segunda linha dividindo por 2: \text{R}_2\leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_2 (opcional) e depois elimino a segunda coluna da terceira linha:
Isso representa duas equações independentes em três incógnitas, portanto sistema consistente com um grau de liberdade (infinitas soluções). Resumindo para k=2 obtemos infinitas soluções (por exemplo y=0 e x+2z=1, ou parametrize z=t, x=1-2t, y=0).]
Passo 7
Resumo das conclusões, com justificativa curta baseada nas operações e no determinante:
Se \det(A)\neq 0 (isto é, k\notin\{1,-3,2\}), então a matriz de coeficientes tem posto 3 e o sistema tem solução única. (A determinação do determinante foi feita no Passo 3.)
Para k=1 e k=-3 a redução por linhas levou a uma linha da forma 0= c com c\neq 0, então a matriz aumentada tem posto maior do que a matriz de coeficientes e o sistema é inconsistent (sem solução).
Para k=2 a redução por linhas deu posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz aumentada e menor que 3, logo o sistema é consistente com infinitas soluções.
Resposta
(a) k\notin\{1,-3,2\} (solução única).
(b) k=1 ou k=-3 (não tem solução).
(c) k=2 (infinitas soluções).