(a) Use o método de Gauss para transformar A em uma matriz B na forma escalonada.
(b) Qual a relação entre \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B) ?
(c) A é invertível? Se sim, calcule \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).
(d) Calcule \operatorname{det}\left(2 A^{t}\right) e \operatorname{det}\left(A A^{t}\right).
e pede:
(a) aplicar o método de Gauss para obter uma matriz B na forma escalonada;
(b) explicar a relação entre \det(A) e \det(B);
(c) dizer se A é invertível e, se for, calcular \det\!\left(A^{-1}\right);
(d) calcular \det\!\left(2A^{t}\right) e \det\!\left(AA^{t}\right).
Passo 2
Antes de começar a eliminar, revisar regras importantes sobre operações elementares e determinante (isso é útil para a prova):
Operações de linha do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra linha” (linha L_i\leftarrow L_i + k L_j) NÃO alteram o determinante.
Trocar duas linhas (linha L_i com L_j) multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.
Para matrizes quadradas n\times n: \det(A^t)=\det(A), \det(cM)=c^{n}\det(M) para escalar c, e \det(AB)=\det(A)\det(B).
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível e \det(A^{-1})=1/\det(A).
Essas regras vão permitir relacionar \det(A) com \det(B) enquanto fazemos eliminação.
Passo 3
Começo a eliminação usando operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (essas não mudam o determinante).
Usar L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
L_2 = [2,-3,6,3] - 2\cdot[1,-2,3,1] = [0,1,0,1].
Usar L_3 \leftarrow L_3 + L_1:
L_3 = [-1,2,-1,-2] + [1,-2,3,1] = [0,0,2,-1].
L_4 permanece [0,0,1,1].
Após essas operações (todas do tipo que não alteram \det), a matriz fica
Agora eliminaremos o elemento abaixo do pivô da coluna 3. Usar L_4 \leftarrow L_4 - \tfrac{1}{2}L_3 (novamente soma de múltiplo de outra linha, não altera o determinante):