Seja
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 2 & -3 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
(a) Use o método de Gauss para transformar A em uma matriz B na forma escalonada.
(b) Qual a relação entre \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B) ?
(c) A é invertível? Se sim, calcule \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).
(d) Calcule \operatorname{det}\left(2 A^{t}\right) e \operatorname{det}\left(A A^{t}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 2 & -3 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
e pede:
(a) aplicar o método de Gauss para obter uma matriz B na forma escalonada;
(b) explicar a relação entre \det(A) e \det(B);
(c) dizer se A é invertível e, se for, calcular \det\!\left(A^{-1}\right);
(d) calcular \det\!\left(2A^{t}\right) e \det\!\left(AA^{t}\right).

Passo 2

Antes de começar a eliminar, revisar regras importantes sobre operações elementares e determinante (isso é útil para a prova):
  • Operações de linha do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra linha” (linha L_i\leftarrow L_i + k L_j) NÃO alteram o determinante.
  • Trocar duas linhas (linha L_i com L_j) multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.
  • Para matrizes quadradas n\times n: \det(A^t)=\det(A), \det(cM)=c^{n}\det(M) para escalar c, e \det(AB)=\det(A)\det(B).
  • Se \det(A)\neq 0, então A é invertível e \det(A^{-1})=1/\det(A).
Essas regras vão permitir relacionar \det(A) com \det(B) enquanto fazemos eliminação.

Passo 3

Começo a eliminação usando operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (essas não mudam o determinante).
Usar L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
L_2 = [2,-3,6,3] - 2\cdot[1,-2,3,1] = [0,1,0,1].
Usar L_3 \leftarrow L_3 + L_1:
L_3 = [-1,2,-1,-2] + [1,-2,3,1] = [0,0,2,-1].
L_4 permanece [0,0,1,1].
Após essas operações (todas do tipo que não alteram \det), a matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 4

Agora eliminaremos o elemento abaixo do pivô da coluna 3. Usar L_4 \leftarrow L_4 - \tfrac{1}{2}L_3 (novamente soma de múltiplo de outra linha, não altera o determinante):
L_4 = [0,0,1,1] - \tfrac{1}{2}[0,0,2,-1] = [0,0,0,1 + \tfrac{1}{2}] = [0,0,0,\tfrac{3}{2}].
Assim obtemos a forma escalonada (matriz B):
B= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} \end{bmatrix}.
Observação: todas as operações usadas foram do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra”, portanto não alteraram o determinante de A.

Passo 5

Relação entre \det(A) e \det(B).
Como só foram usadas operações que não alteram o determinante, vale
\det(B)=\det(A).
Além disso, B é triangular superior, então seu determinante é o produto das entradas da diagonal:
\det(B)=1\cdot 1\cdot 2\cdot \tfrac{3}{2} = 3.
Portanto \det(A)=3.

Passo 6

Invertibilidade de A. Como \det(A)=3\neq 0, a matriz A é invertível. Pelo fato \det(A^{-1})=1/\det(A), temos
\det\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{3}.

Passo 7

Cálculos pedidos em (d).
Primeiro, \det(A^t)=\det(A)=3. Para \det(2A^t), usar que a multiplicação por 2 de toda a matriz 4\times4 escala o determinante por 2^{4}:
\det\!\left(2A^{t}\right)=2^{4}\det\!\left(A^{t}\right)=16\cdot 3 = 48.
Para \det(AA^{t}), usar \det(AA^{t})=\det(A)\det(A^{t})=\det(A)^{2}:
\det\!\left(AA^{t}\right)=3^{2}=9.

Resposta

(a) B=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} \end{bmatrix}
(b) \det(B)=\det(A) (aqui \det(A)=3).
(c) A é invertível; \det\!\left(A^{-1}\right)=\tfrac{1}{3}.
(d) \det\!\left(2A^{t}\right)=48 \
\det\!\left(AA^{t}\right)=9

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