(\mathbf{1 , 5}) Obtenha as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto de intersecção das retas s_{1} e s_{2}, dadas pelas equações abaixo, e que tem a direção do vetor \vec{v}=(1,2,-1).
s_{1}: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} \quad \text { e } \quad s_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=-1+t \\ y=4-t \\ z=-8+3 t \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter as equações simétricas da reta [r) que passa pelo ponto de interseção das retas s_{1} e s_{2} e que tem direção do vetor \vec{v}=(1,2,-1).
Informações fornecidas:
  • A reta s_{1} está dada por \displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}.
  • A reta s_{2} está dada parametricamente por
\begin{cases} x=-1+t\\[4pt] y=4-t\\[4pt] z=-8+3t \end{cases}
  • O vetor direção pedido para r\] é \(\vec{v}=(1,2,-1).]

Passo 2

Converter a equação simétrica de s_{1} para forma paramétrica (isso facilita achar a interseção). A ideia: quando \displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} toma um valor, chamamos esse valor de parâmetro \lambda. Assim:
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}=\lambda.
Isto gera as equações paramétricas de s_{1}:
x=3+2\lambda,\qquad y=-1-3\lambda,\qquad z=2+4\lambda.
Explicação curta: usamos um parâmetro \lambda porque as razões iguais definem a mesma quantidade ao longo da reta; isolando cada variável em função de \lambda obtemos o ponto genérico da reta.

Passo 3

Já temos s_{2} em forma paramétrica com parâmetro t:
x=-1+t,\qquad y=4-t,\qquad z=-8+3t.
Para encontrar o ponto de interseção entre s_{1} e s_{2} precisamos achar \lambda e t tais que as coordenadas coincidam. Igualando componente a componente:
3+2\lambda = -1 + t, \tag{1}
-1-3\lambda = 4 - t, \tag{2}
2+4\lambda = -8 + 3t. \tag{3}
Vamos resolver (1) e (2) primeiro.
Da equação (1) isolamos t:
t = 4 + 2\lambda. \tag{4}
Substituímos (4) em (2):
-1-3\lambda = 4 - (4 + 2\lambda).
O lado direito simplifica:
4 - (4 + 2\lambda) = -2\lambda.
Logo:
-1 -3\lambda = -2\lambda.
Isolando \lambda:
-1 -3\lambda +2\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 -\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1.

Passo 4

Com \lambda = -1, usamos (4) para obter t:
t = 4 + 2(-1) = 2.
Agora verificamos (opcional, mas bom para conferir) a equação (3). Calculando os lados:
\text{LHS de (3)} = 2 + 4\lambda = 2 + 4(-1) = -2,
\text{RHS de (3)} = -8 + 3t = -8 + 3\cdot 2 = -2.
Como coincidem, \lambda e t estão corretos. Assim o ponto de interseção P tem coordenadas (usando s_{1} ou s_{2}):
x = 3 + 2(-1) = 1,\qquad y = -1 -3(-1)=2,\qquad z = 2 + 4(-1) = -2.
Portanto P=(1,2,-2).

Passo 5

Agora construímos a reta r que passa por P=(1,2,-2) e tem direção \vec{v}=(1,2,-1).
Lembrete (fórmula): a forma paramétrica da reta que passa por (x_0,y_0,z_0) com direção (a,b,c) é
x = x_0 + a\,t,\qquad y = y_0 + b\,t,\qquad z = z_0 + c\,t,
onde t é o parâmetro. Aqui x_0=1,\;y_0=2,\;z_0=-2 e a=1,\;b=2,\;c=-1. Assim a forma paramétrica de r é
x = 1 + t,\qquad y = 2 + 2t,\qquad z = -2 - t.
Explicação: somamos ao ponto inicial o parâmetro vezes cada componente do vetor direção para percorrer a reta.

Passo 6

Converter a forma paramétrica para equações simétricas. Regra: se os componentes do vetor direção (a,b,c) não são zero, as equações simétricas são
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
No nosso caso a=1,\;b=2,\;c=-1 (nenhum é zero), então as equações simétricas de r ficam
\boxed{\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+2}{-1}.}
Observação de interpretação: a parte z+2 vem de z-(-2). A divisão por -1 corresponde à componente c=-1.

Resposta

\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+2}{-1}

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