(\mathbf{1 , 5}) Obtenha as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto de intersecção das retas s_{1} e s_{2}, dadas pelas equações abaixo, e que tem a direção do vetor \vec{v}=(1,2,-1).
s_{1}: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} \quad \text { e } \quad s_{2}:\left\{\begin{array}{l}
x=-1+t \\
y=4-t \\
z=-8+3 t
\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Obter as equações simétricas da reta [r) que passa pelo ponto de interseção das retas s_{1} e s_{2} e que tem direção do vetor \vec{v}=(1,2,-1).
Informações fornecidas:
A reta s_{1} está dada por \displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}.
O vetor direção pedido para r\] é \(\vec{v}=(1,2,-1).]
Passo 2
Converter a equação simétrica de s_{1} para forma paramétrica (isso facilita achar a interseção). A ideia: quando \displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} toma um valor, chamamos esse valor de parâmetro \lambda. Assim:
Explicação curta: usamos um parâmetro \lambda porque as razões iguais definem a mesma quantidade ao longo da reta; isolando cada variável em função de \lambda obtemos o ponto genérico da reta.
Passo 3
Já temos s_{2} em forma paramétrica com parâmetro t:
x=-1+t,\qquad y=4-t,\qquad z=-8+3t.
Para encontrar o ponto de interseção entre s_{1} e s_{2} precisamos achar \lambda e t tais que as coordenadas coincidam. Igualando componente a componente: