(1,0) Verifique se as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=1-6 t \\\ y=-3 t \\\ z=4+10 t\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=2 z+1 \\\ y=-\frac{2}{3} z\end{array}\right. são paralelas, ortogonais ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede para classificá‑las como paralelas, ortogonais ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas:
Reta r em forma paramétrica com parâmetro t:
x=1-6t,\qquad y=-3t,\qquad z=4+10t.
Reta s escrita em função de z (que funciona como parâmetro):
x=2z+1,\qquad y=-\tfrac{2}{3}z.
Pergunta explícita: verificar se as retas r e s são paralelas, ortogonais ou nenhuma das duas.
Passo 2
Entender o que é o vetor diretor de uma reta paramétrica: se uma reta tem forma x=x_0+a t,\;y=y_0+b t,\;z=z_0+c t, então o vetor diretor é (a,b,c) — é o “vetor de passo” que indica a direção da reta.
Para a reta r os coeficientes do parâmetro t são a=-6, b=-3, c=10. Logo o vetor diretor de r é
\vec{v}_r = (-6,\,-3,\,10).
Passo 3
A reta s está escrita usando z como parâmetro. Vamos renomear o parâmetro para \lambda (prático para não confundir com coordenada) e reescrever:
Assim os coeficientes do parâmetro \lambda são 2,\;-\tfrac{2}{3},\;1. O vetor diretor de s é
\vec{v}_s = \left(2,\,-\tfrac{2}{3},\,1\right).
(Se preferir números inteiros, pode multiplicar por 3 — isso não muda a direção — obtendo (6,-2,3) como um vetor paralelo a \vec{v}_s.)
Passo 4
Teste de paralelismo: duas retas são paralelas se e só se seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k tal que \vec{v}_r = k\vec{v}_s.
Tentar obter k pelas componentes usando \vec{v}_s=(2,-\tfrac{2}{3},1):
a partir da primeira componente: -6 = k\cdot 2 \Rightarrow k=-3.
Verificando a segunda componente com esse k: k\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right) = -3\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)=2, mas a segunda componente de \vec{v}_r é -3. Há contradição (2\neq -3), portanto não existe k que satisfaça todas as três igualdades. Logo os vetores diretores não são proporcionais e as retas NÃO são paralelas.
Passo 5
Teste de ortogonalidade: duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais, ou seja, quando o produto escalar é zero.
Calcular o produto escalar \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s. Usando \vec{v}_r=(-6,-3,10) e \vec{v}_s=\left(2,-\tfrac{2}{3},1\right),
Como o produto escalar é 0 e ambos os vetores diretores são não nulos, os vetores são perpendiculares.
Passo 6
Interpretação: os vetores diretores não são proporcionais (portanto as retas não são paralelas) e têm produto escalar zero (portanto os vetores diretores são perpendiculares). Conclusão sobre a relação entre as retas: são ortogonais.