Em que condições duas retas no espaço são paralelas?

Passo 1

O enunciado pergunta em que condições duas retas no espaço são paralelas. O conteúdo é geometria analítica espacial, em que usamos representação vetorial de retas e testes de colinearidade de vetores.

Passo 2

Representemos as duas retas por equações paramétricas:
r:;X = A + t,u,
s:;X = B + s,v,
onde A,B são pontos dados e u,v são os vetores diretores.

Passo 3

Para que r e s sejam paralelas, basta que seus vetores diretores sejam colineares. Isto é, exista lambdaneq0 tal que
u = lambda,v
Uma forma equivalente de checar colinearidade é
utimesv = 0

Passo 4

Se quisermos ainda garantir que as retas não coincidam (isto é, sejam paralelas e distintas), o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s, dado por B-A, não pode ser colinear a u. Logo, deve valer
(B-A) times u ;neq;0
Caso contrário, se (B-A)timesu=0, as retas coincidem.

Resposta

Duas retas no espaço são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores forem colineares, ou seja,
utimesv = 0
Para que sejam paralelas distintas, adicionalmente
(B-A)timesu neq 0

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