Defina o ângulo entre duas retas e explique como ele pode ser calculado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina o que é o ângulo entre duas retas num plano e mostre como calculá-lo. Para isso vamos usar dois conteúdos principais: (i) vetores diretores e produto escalar, (ii) declives (pendentes) e a função arco-tangente.

Passo 2

Suponha que as retas r1 e r2 tenham vetores diretores vec u e vec v. O ângulo theta entre as duas retas é o menor ângulo formado pelos dois vetores, dado pela relação vinda do produto escalar e da definição de cosseno:
theta = arccos!l(l|vec u !cdot! vec vr||vec u|;|vec v|!r),
onde |vec u| e |vec v| são os comprimentos de vec u e vec v.

Passo 3

Se as retas estão dadas pelas equações na forma reduzida y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2, seus declives são m1 e m2. Nesse caso o ângulo phi entre elas satisfaz
phi = arctan!l(l|tfracm2 - m11 + m1 m2r|r),
que também fornece o menor ângulo formado pelas duas retas.

Resposta

O ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado pelos seus vetores diretores. Ele pode ser calculado de duas formas equivalentes:
  1. Se vec u e vec v são vetores diretores,
theta = arccos!l(l|vec u !cdot! vec vr||vec u|;|vec v|!r)
  1. Se as retas têm declives m1 e m2,
phi = arctan!l(l|tfracm2 - m11 + m1 m2r|r)
Em ambos os casos obtemos o mesmo valor do ângulo agudo entre as retas.

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