Quais as condições exigidas para que uma equação diferencial seja classificada como uma equação exata? É possível transformar uma EDO que não seja exata em uma que seja? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta quais condições M(x,y) e N(x,y) devem satisfazer para que a equação diferencial da forma
seja exata e se podemos transformar uma EDO não exata em exata.
Passo 2
Para entender exatidão, lembramos que uma forma diferencial
é exata se existe uma função potencial
tal que
. Nesse caso, as derivadas parciais de
satisfazem
e
.
Passo 3
O critério prático de exatidão é exigir que as derivadas cruzadas sejam iguais. Ou seja, em um domínio
simplesmente conexo onde
são contínuas, deve valer:
Esse é o teste de exatidão.
Passo 4
Nem toda EDO vem pronta exata, mas podemos tentar tornar exata multiplicando por um fator integrante
. Se encontrarmos
tal que
seja exata, então resolvemos a nova equação.
Passo 5
Na prática, procuramos fatores integrantes dependentes apenas de
ou apenas de
. Por exemplo, se
é função só de
, então existe
satisfazendo
Analogamente, se
é função só de
, obtemos
.
Passo 6
Assim, mesmo sendo inicialmente não exata, podemos usar fatores integrantes adequados para transformá-la em exata e então encontrar a solução por meio da função potencial
.
Resposta
Uma EDO
é exata se, num domínio simplesmente conexo onde
e
são contínuas, valer
Se a equação não for exata, podemos, quando possível, multiplicá-la por um fator integrante
ou
(ou geral
) de modo que
satisfaça o mesmo critério de exatidão. Dessa forma, transformamos a EDO não exata em exata e obtemos a solução através de uma função potencial.