Quais as condições exigidas para que uma equação diferencial seja classificada como uma equação exata? É possível transformar uma EDO que não seja exata em uma que seja? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta quais condições M(x,y) e N(x,y) devem satisfazer para que a equação diferencial da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 seja exata e se podemos transformar uma EDO não exata em exata.

Passo 2

Para entender exatidão, lembramos que uma forma diferencial M,dx + N,dy é exata se existe uma função potencial Phi(x,y) tal que dPhi = M,dx + N,dy. Nesse caso, as derivadas parciais de Phi satisfazem partial Phi/partial x = M e partial Phi/partial y = N.

Passo 3

O critério prático de exatidão é exigir que as derivadas cruzadas sejam iguais. Ou seja, em um domínio D simplesmente conexo onde M, N, partial M/partial y, partial N/partial x são contínuas, deve valer:
partial Mpartial y(x,y) = partial Npartial x(x,y)
Esse é o teste de exatidão.

Passo 4

Nem toda EDO vem pronta exata, mas podemos tentar tornar exata multiplicando por um fator integrante mu(x,y). Se encontrarmos mu tal que
mu(x,y),M(x,y),dx + mu(x,y),N(x,y),dy = 0
seja exata, então resolvemos a nova equação.

Passo 5

Na prática, procuramos fatores integrantes dependentes apenas de x ou apenas de y. Por exemplo, se
1Nl(partial Mpartial y - partial Npartial xr)
é função só de x, então existe mu(x) satisfazendo
dmudx = mu(x),1Nl(partial Mpartial y - partial Npartial xr)
Analogamente, se
1Ml(partial Npartial x - partial Mpartial yr)
é função só de y, obtemos mu(y).

Passo 6

Assim, mesmo sendo inicialmente não exata, podemos usar fatores integrantes adequados para transformá-la em exata e então encontrar a solução por meio da função potencial Phi(x,y).

Resposta

Uma EDO M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é exata se, num domínio simplesmente conexo onde M, N, partial M/partial y e partial N/partial x são contínuas, valer
partial Mpartial y(x,y) = partial Npartial x(x,y)
Se a equação não for exata, podemos, quando possível, multiplicá-la por um fator integrante mu(x) ou mu(y) (ou geral mu(x,y)) de modo que mu M,dx + mu N,dy = 0 satisfaça o mesmo critério de exatidão. Dessa forma, transformamos a EDO não exata em exata e obtemos a solução através de uma função potencial.

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