Quando uma equação diferencial é dita separável? Qual é o procedimento geral para resolver as equações diferenciais separáveis?

Passo 1

O enunciado pede para definir o conceito de equação diferencial separável e descrever o procedimento geral para resolvê-las. O conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem e vamos precisar manipular a forma diferencial, reconhecer funções de uma única variável e aplicar integração.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem
dydx=f(x,y)
é dita separável se a função do lado direito puder ser escrita como produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y, ou seja,
f(x,y)=g(x),h(y)
Nesse caso conseguimos escrever a equação na forma
1h(y),dy=g(x),dx,
separando as variáveis.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados dessa igualdade para relacionar y e x. Em termos de teoria, usamos que a integral indefinida de uma derivada nos dá uma primitiva. Assim, montamos as integrais:
integral1h(y),dy=integral g(x),dx

Passo 4

Ao realizar as integrais, obtemos duas funções primitivas, digamos H(y) e G(x), mais uma constante de integração. Fica então:
H(y)=G(x)+C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 5

Por fim, se for possível, isolamos y para obter a solução explícita y=y(x). Caso haja condição inicial, usamos y(x0)=y0 para determinar o valor de C e obter a solução particular.

Resposta

Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma tfracdydx=g(x),h(y), permitindo rearranjar em tfrac1h(y),dy=g(x),dx. O procedimento geral é:
  1. Escrever a equação na forma diferencial e identificar g(x) e h(y).
  2. Separar as variáveis: levar todos os termos em y para o lado de dy e os de x para o lado de dx.
  3. Integrar cada lado: integral1/h(y),dy=integral g(x),dx.
  4. Incluir constante de integração C, obtendo H(y)=G(x)+C.
  5. Se possível, isolar y para ter a solução explícita e, se houver condição inicial, usar para achar C.

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