Quando uma equação diferencial é dita separável? Qual é o procedimento geral para resolver as equações diferenciais separáveis?
Passo 1
O enunciado pede para definir o conceito de equação diferencial separável e descrever o procedimento geral para resolvê-las. O conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem e vamos precisar manipular a forma diferencial, reconhecer funções de uma única variável e aplicar integração.
Passo 2
Uma equação diferencial de primeira ordem
é dita separável se a função do lado direito puder ser escrita como produto de uma parte que depende só de
e outra que depende só de
, ou seja,
Nesse caso conseguimos escrever a equação na forma
separando as variáveis.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados dessa igualdade para relacionar
e
. Em termos de teoria, usamos que a integral indefinida de uma derivada nos dá uma primitiva. Assim, montamos as integrais:
Passo 4
Ao realizar as integrais, obtemos duas funções primitivas, digamos
e
, mais uma constante de integração. Fica então:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Por fim, se for possível, isolamos
para obter a solução explícita
. Caso haja condição inicial, usamos
para determinar o valor de
e obter a solução particular.
Resposta
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
, permitindo rearranjar em
. O procedimento geral é:
- Escrever a equação na forma diferencial e identificar
e . - Separar as variáveis: levar todos os termos em
para o lado de e os de para o lado de . - Integrar cada lado:
. - Incluir constante de integração
, obtendo . - Se possível, isolar
para ter a solução explícita e, se houver condição inicial, usar para achar .