Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l (t-3) y^prime prime+t y^prime+(ln |t|) y=0 y(4)=0 y^prime(4)=1
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
3
0
-infty
Nenhuma das demais alternativas
0
3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial e queremos descobrir o maior intervalo de valores de $ t $ onde essa equação tem uma solução única que é duas vezes diferenciável. Para isso, precisamos analisar a equação e ver onde ela está “bem comportada” para garantir que a solução exista e seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
(t - 3) y'' + t y' + (ln |t|) y = 0
Além disso, temos as condições iniciais:
y(4) = 0 e y'(4) = 1

Passo 3

A equação diferencial é do tipo linear de segunda ordem. Para que exista uma solução única que seja duas vezes diferenciável, os coeficientes da equação precisam ser contínuos no intervalo considerado.
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão:
y'' + tt - 3 y' + ln |t|t - 3 y = 0
Aqui, os coeficientes são:
P(t) = tt - 3 e Q(t) = ln |t|t - 3

Passo 4

Agora, precisamos verificar onde esses coeficientes são contínuos. Isso significa identificar os valores de $ t $ onde eles não apresentam problemas, como divisões por zero ou termos não definidos.
  1. Divisão por zero em $ P(t) $ e $ Q(t) $:
    O denominador $ t - 3 $ não pode ser zero, ou seja, $ t \neq 3 $.
  2. Logaritmo $ \ln |t| $:
    O logaritmo só está definido para $ t > 0 $. Então, precisamos de $ t > 0 $.

Passo 5

Com base nisso, os pontos problemáticos são $ t = 3 $ e $ t = 0 $. Portanto, para que os coeficientes sejam contínuos, devemos excluir esses valores.
Além disso, as condições iniciais estão em $ t = 4 $. Queremos um intervalo que inclua esse ponto e onde os coeficientes sejam contínuos.

Passo 6

Vamos analisar os intervalos possíveis:
  • $ t > 3 $: Aqui, $ t \neq 3 $ e $ t > 0 $, então ambos os problemas são evitados.
  • $ 0 < t < 3 $: Também evita $ t = 3 $, mas ainda tem $ t > 0 $.
  • Outros intervalos incluem $ t \leq 0 $ ou passam por $ t = 3 $, o que não é válido.

Passo 7

Como $ t = 4 $ está no intervalo $ t > 3 $, e esse é o maior intervalo onde os coeficientes são contínuos, concluímos que esse é o intervalo onde a solução é única e duas vezes diferenciável.

Resposta

A maior faixa onde o problema possui uma única solução duas vezes diferenciável é 3 < t < infty.

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