Assumindo alpha>0, determine a sua solução:
Escolha uma opção: y=15[(4-alpha) e^-t+(1+alpha) e^t2] y=15[(1+2 alpha) e^-t+(1-2 alpha) e^t] y=15[(4+2 alpha) e^-2 t+(1+alpha) e^t] y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]
Nenhuma das demais alternativas y=15[(1-alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-alpha
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
y^prime prime + 32 y^prime - y = 0
Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação homogênea. Para isso, vamos achar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial. Fazendo isso:
y = e^rt
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ r^2 + \frac{3}{2} r - 1 = 0 $:
r^2 + 32 r - 1 = 0
Calculando o discriminante:
r = -32 pm raiz ( 32 )^2 + 4 2
Então,
( 32 )^2 + 4 = 94 + 4 = 254
Isso nos dá duas raízes:
r = -32 pm 52 2
r1 = -32 + 52 2 = 12
Passo 5
Com as raízes $ r_1 = \frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = 12
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.