Considere o problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-alpha
Assumindo alpha>0, determine a sua solução:
Escolha uma opção:
y=15[(4-alpha) e^-t+(1+alpha) e^t2]
y=15[(1+2 alpha) e^-t+(1-2 alpha) e^t]
y=15[(4+2 alpha) e^-2 t+(1+alpha) e^t]
y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]
Nenhuma das demais alternativas
y=15[(1-alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-alpha
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
y^prime prime + 32 y^prime - y = 0
Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação homogênea. Para isso, vamos achar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial. Fazendo isso:
y = e^rt
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ r^2 + \frac{3}{2} r - 1 = 0 $:
r^2 + 32 r - 1 = 0
Calculando o discriminante:
r = -32 pm raiz ( 32 )^2 + 4 2
Então,
( 32 )^2 + 4 = 94 + 4 = 254
Isso nos dá duas raízes:
r = -32 pm 52 2
r1 = -32 + 52 2 = 12

Passo 5

Com as raízes $ r_1 = \frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = 12
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição:
C1
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y(t) $:
C2
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = 1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow C1 + C2 = 1 (1)

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
C1 + C2 = 1 (1) -2 C1 + 12 C2 = -alpha (2)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
C2 = 1 - C1
Substituindo na equação (2):
-2 C1 + 12 (1 - C1) = -alpha
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
-4 C1 + (1 - C1) = -2alpha
-5 C1 + 1 = -2alpha
-5 C1 = -2alpha -1
C1 = 2alpha +15
Então, substituindo $ C_1 $ na equação (1):
C1

Passo 8

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução completa:
C1
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:
C2

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 1 + 2alpha5 e^-2 t + 4 - 2alpha5 e^t2
Essa corresponde à alternativa:
y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]

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