(Condições de Fronteira) Considere a equação diferencial
y^prime prime+y=0
Determine quais soluções da equação satisfazem as condições de fronteira dadas.
y(0)=2 ; y(pi2)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0
e impõe as condições de fronteira
y(0)=2, yl(tfracpi2r)=0
Para resolver precisamos usar a forma geral da solução dessa EDO e depois ajustar as constantes para satisfazer os contornos.

Passo 2

A solução geral de
y'' + y = 0
é dada por superposição de senos e cossenos:
y(x) = C1 cos x + C2 sin x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=2, temos
y(0)=C1cos0 + C2sin0 = C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 2
Logo C1=2.

Passo 4

Aplicando a condição yl(tfracpi2r)=0 com C1=2, obtemos
yl(tfracpi2r) =2cosl(tfracpi2r) + C2sinl(tfracpi2r) =2cdot0 + C2cdot1 = C2 =0
Logo C2=0.

Resposta

A única solução que satisfaz ambas as condições é
y(x) = 2cos x

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