(Condições de Fronteira) Considere a equação diferencial
y^prime prime+y=0
Determine quais soluções da equação satisfazem as condições de fronteira dadas.
y(0)=2 ; y(pi)=0.

Passo 1

O enunciado pede as soluções de
y'' + y = 0
que satisfazem as condições de contorno
y(0)=2, y(pi)=0
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; a estratégia é obter a solução geral e depois impor as condições de contorno.

Passo 2

A solução geral da equação homogênea é dada por
y(x) = A cos x + B sin x
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Impondo y(0)=2, temos
y(0) = A cos 0 + B sin 0 = A cdot 1 + B cdot 0 = A = 2

Passo 4

Impondo y(pi)=0, usamos o valor de A:
y(pi) = 2 cospi + B sinpi = 2(-1) + Bcdot 0 = -2
Para satisfazer y(pi)=0 precisaríamos de -2=0, o que é impossível.

Resposta

Não existem soluções de y''+y=0 que verifiquem simultaneamente y(0)=2 e y(pi)=0.

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