Expresse d yd x=y^prime em termos de x e y , sendo y=f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
y^3+x^2 y=x+4

Passo 1

O enunciado nos dá uma função y=f(x) definida implicitamente por
y^3 + x^2y = x + 4,
e pede para expressarmos dfracdydx=y' em termos de x e y. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y^3r) + ddxl(x^2yr) = ddxl(x+4r)
Pela regra da cadeia,
ddxl(y^3r)=3y^2,y',
e pela regra do produto,
ddxl(x^2yr) =2xcdot y + x^2cdot y'
No lado direito,
ddx(x+4)=1

Passo 3

Substituindo na igualdade,
3y^2y' + l(2x,y + x^2y'r) = 1 Longrightarrow 3y^2y' + x^2y' + 2xy = 1

Passo 4

Colocando os termos com y' em evidência:
y',(3y^2+x^2) + 2xy = 1 Longrightarrow y',(3y^2+x^2) = 1 - 2xy
e então isolando y',
y' = 1 - 2xy3y^2 + x^2

Resposta

y' = 1 - 2xy3y^2 + x^2

Exercícios relacionados