(Condições de Fronteira) Considere a equação diferencial
y^prime prime+y=0
Determine quais soluções da equação satisfazem as condições de fronteira dadas.
y(0)=2 ; y(pi)=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de contorno
y'' + y = 0, y(0)=2, y(pi)=-2
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e depois aplicar as condições de fronteira.

Passo 2

Para resolver
y'' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo a solução geral é
y(x) = Acos x + Bsin x,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de fronteira.

Passo 3

Impondo y(0)=2, temos
y(0) = Acos0 + Bsin0 = Acdot1 + Bcdot0 = A = 2
Portanto
y(x) = 2cos x + Bsin x

Passo 4

Agora aplicamos y(pi)=-2:
y(pi) = 2cospi + Bsinpi = 2cdot(-1) + Bcdot0 = -2
Isso já dá -2=-2 sem envolver B. Concluímos que não há restrição sobre B.

Passo 5

Como só fixamos A=2 e B ficou livre, existe uma família infinita de soluções que satisfazem as duas condições de fronteira.

Resposta

A família de soluções é
boxedy(x) = 2cos x + Csin x, CinR

Exercícios relacionados