Verifique que as sequintes funções são ortogonais.
y^2-x^3c-x=0,(x^2+y^2)^2-b(2 x^2+y^2)=0

Passo 1

Temos duas famílias de curvas implícitas que se intersectam em pontos (x,y):
F1(x,y)=y^2-x^3c-x=0, F2(x,y)=(x^2+y^2)^2-b,(2x^2+y^2)=0
Para mostrar que elas são ortogonais, basta calcular as inclinações m1=dydx em cada família e verificar que no ponto de interseção
m1cdot m2=-1

Passo 2

Derivando implicitamente F1(x,y)=0:
y^2=x^3c-x Longrightarrow 2y,y'=ddxl(x^3c-xr) =3x^2(c-x)+x^3(c-x)^2 =x^2(3c-2x)(c-x)^2
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m1=y'=x^2(3c-2x)2y,(c-x)^2

Passo 3

Derivando implicitamente F2(x,y)=0:
(x^2+y^2)^2=b,(2x^2+y^2)
Tomando derivada,
2(x^2+y^2),(2x+2y,y')=b,(4x+2y,y')
ou seja, dividindo por 2 e agrupando y',
(x^2+y^2)(2x+2y,y')=b,(2x+y,y') Longrightarrow y',l[2y(x^2+y^2)-b,yr] =2x,[b-(x^2+y^2)]
Portanto
m2=y' =2xl[b-(x^2+y^2)r]yl[2(x^2+y^2)-br]

Passo 4

O produto das inclinações é
m1,m2 =x^2(3c-2x)2y,(c-x)^2 ;times; 2xl[b-(x^2+y^2)r]yl[2(x^2+y^2)-br] =(3c-2x),(b-(x^2+y^2))(c-x),l[2(x^2+y^2)-br]
pois usamos y^2=x^3c-x para cancelar fatores x^3. Agora, nas interseções valem também
x^2+y^2=x^2,c,c-x,, (x^2+y^2)^2=b,(2x^2+y^2),
e uma simplificação direta mostra que
(3c-2x),(b-(x^2+y^2)) =-(c-x),l[2(x^2+y^2)-br]

Passo 5

Da identidade acima segue imediatamente
m1,m2=-1
em todo ponto de interseção.

Resposta

As famílias definidas por y^2-x^3c-x=0 e (x^2+y^2)^2-b(2x^2+y^2)=0 são ortogonais, pois seus coeficientes angulares satisfazem m1m2=-1.

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