P 2.1. Em que condições uma matriz diagonal n times n
D=[cccc d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dn ]
é invertível, e qual a sua inversa?

Passo 1

O enunciado pede que determinem em que condições a matriz diagonal
D = d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dn
é invertível e qual é sua inversa. O conteúdo envolve o conceito de invertibilidade de matrizes em álgebra linear, a relação com o determinante e as propriedades especiais de matrizes diagonais.

Passo 2

Uma matriz A de ordem n é invertível se, e somente se, existe B tal que
AB = BA = In
Equivalentemente, usamos que A é invertível se, e somente se,
det(A)neq0
No caso de uma matriz diagonal D, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(D)=d1,d2cdots dn

Passo 3

Portanto, a condição para D ser invertível é
d1,d2cdots dnneq0,
ou seja, cada elemento diagonal deve ser diferente de zero:
dineq0, i=1,dots,n

Passo 4

Supondo que todos os di sejam não nulos, definimos
D^-1 = 1/d1 & 0 & cdots & 0 0 & 1/d2 & cdots & 0 vdots & & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1/dn
Para verificar que esta é de fato a inversa, basta observar que ao multiplicar D por D^-1 (em qualquer ordem) cada entrada diagonal resulta em
dicdot1di=1
e todas as entradas fora da diagonal continuam zero, produzindo exatamente In.

Resposta

A matriz D é invertível se, e somente se, dineq0 para todo i=1,dots,n.
Sua inversa é
D^-1=diagl(1/d1,,1/d2,,dots,,1/dnr)

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