Exercício 8. (G. ex. 3.17) A distribuição d^kd x^k de<a0 é frequentemente denotada por de<a^(k). Para k=1,2,3, a notação de<a^prime, de<a^prime prime e de<a^prime prime prime (respectivamente) também é usada. Seja f in C^infty(R).
a) Mostre que existem constantes c0 e c1 tais que a identidade f de<a^prime=c0 de<a+c1 de<a^prime é válida.
(b) Para k in N0, mostre que existem constantes ck j adequadas para as quais a seguinte identidade é válida: f de<a^(k)=sumj=0^k ck j de<a^(j).
(Dica: Use a definição de multiplicação por funções e a regra de Leibniz).

Passo 1

O enunciado trata da multiplicação de uma distribuição derivada do Dirac em zero, denotada por de<a^(k), por uma função suave fin C^infty(R). Em (a) queremos expressar f,de<a' como combinação de de<a e de<a'; em (b) generalizar para f,de<a^(k). O conteúdo principal é a definição de multiplicação por função e a aplicação da regra de Leibniz.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer distribuição T e varphiinD(R),
(fT)(varphi)=T(f,varphi)
Também vale
de<a^(k)(varphi)=(-1)^k,varphi^(k)(0)

Passo 3

Para (a), com k=1 temos, para todo teste varphi,
(f,de<a')(varphi)=de<a'l(f,varphir) =-l(f,varphir)'(0) =-l(f'(0),varphi(0)+f(0),varphi'(0)r)
Reagrupando,
(f,de<a')(varphi) =-f'(0),varphi(0)+f(0)l(-varphi'(0)r) =-f'(0),de<a(varphi)+f(0),de<a'(varphi)
Logo, existem c0 e c1 tais que
f,de<a' = c0,de<a + c1,de<a',
com c0=-f'(0) e c1=f(0).

Passo 4

Para (b), fixamos k>=0. Usando a definição,
(f,de<a^(k))(varphi) =de<a^(k)l(f,varphir) =(-1)^k,(f,varphi)^(k)(0)

Passo 5

Pela regra de Leibniz,
(f,varphi)^(k)(0) =sumj=0^kbinomkjf^(k-j)(0),varphi^(j)(0)
Portanto
(f,de<a^(k))(varphi) =(-1)^ksumj=0^kbinomkjf^(k-j)(0),varphi^(j)(0) =sumj=0^kbinomkjf^(k-j)(0),(-1)^,k-j,de<a^(j)(varphi)
Isto mostra que
f,de<a^(k) =sumj=0^kckj,de<a^(j),
com
ckj=binomkj(-1)^,k-j,f^(k-j)(0)

Resposta

Para (a):
c0=-f'(0), c1=f(0), ou seja
f,de<a'=-f'(0),de<a+f(0),de<a'
Para (b):
f,de<a^(k)=sumj=0^kbinomkj(-1)^,k-jf^(k-j)(0),de<a^(j)

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