Exercício 8. (G. ex. 3.17) A distribuição
é frequentemente denotada por
. Para
, a notação
e
(respectivamente) também é usada. Seja
.
a) Mostre que existem constantes
e
tais que a identidade
é válida.
(b) Para
, mostre que existem constantes
adequadas para as quais a seguinte identidade é válida:
.
(Dica: Use a definição de multiplicação por funções e a regra de Leibniz).
a) Mostre que existem constantes
(b) Para
(Dica: Use a definição de multiplicação por funções e a regra de Leibniz).
Passo 1
O enunciado trata da multiplicação de uma distribuição derivada do Dirac em zero, denotada por
, por uma função suave
. Em (a) queremos expressar
como combinação de
e
; em (b) generalizar para
. O conteúdo principal é a definição de multiplicação por função e a aplicação da regra de Leibniz.
Passo 2
Lembramos que, para qualquer distribuição
e
,
Também vale
Passo 3
Para (a), com
temos, para todo teste
,
Reagrupando,
Logo, existem
e
tais que
com
e
.
Passo 4
Para (b), fixamos
. Usando a definição,
Passo 5
Pela regra de Leibniz,
Portanto
Isto mostra que
com
Resposta
Para (a):
,
, ou seja
Para (b):