Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios 01 → 18.
T: M2 times 2 P2(x), T([lla & b c & d])=(a-b) x^2+c x+d.

Passo 1

O enunciado define a transformação
Para verificar que é linear, precisamos checar duas propriedades para quaisquer matrizes e escalar :
  1. Aditividade: .
  2. Homogeneidade: .

Passo 2

(Aditividade) Seja
Então
Logo,
Distribuindo,

Passo 3

(Homogeneidade) Seja lambda um escalar. Então
lambda A = lambda a1 & lambda b1lambda c1 & lambda d1,
e
T(lambda A) = l[(lambda a1) - (lambda b1)r]x^2 + (lambda c1)x + (lambda d1) = lambdal[(a1 - b1)x^2 + c1 x + d1r] = lambda,T(A)

Passo 4

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A função T é linear.

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