Exercício 9. (D.K. ex. 9.2) Seja
um aberto e
. Escreva a distribuição
como uma combinação linear da seguinte forma:
em que
. (Dica: Use a definição de multiplicação por funções e a regra de Leibniz. Essencialmente é uma generalização do exercício anterior).
Passo 1
O enunciado pede para escrever a distribuição
como combinação linear de derivadas do delta:
onde
e
é um multi-índice. Vamos usar a definição de multiplicação de uma distribuição por função suave, a definição de derivada de distribuição e a regra de Leibniz para derivadas de produto com multi-índices.
Passo 2
Pela definição de multiplicação de distribuição por função suave, para qualquer teste
vale
Passo 3
Usando a definição de derivada de distribuição,
Passo 4
Aplicamos a regra de Leibniz para derivada de produto com multi-índices:
Passo 5
Como
avalia funções em
, temos
Passo 6
Para relacionar
com
, usamos
Passo 7
Substituindo em todos os passos anteriores, obtemos
Como
, temos
.
Passo 8
Identificamos, na expressão acima, o coeficiente de
com
. Reescrevendo o índice
, concluímos que