Exercício 9. (D.K. ex. 9.2) Seja Omega subset R^n um aberto e psi in C^infty(Omega). Escreva a distribuição psi partial^alpha de<a como uma combinação linear da seguinte forma:
psi partial^alpha de<a=sumbeta <= alpha cbeta partial^beta de<a
em que cbeta in C. (Dica: Use a definição de multiplicação por funções e a regra de Leibniz. Essencialmente é uma generalização do exercício anterior).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a distribuição psi,partial^alphade<a como combinação linear de derivadas do delta:
psi,partial^alphade<a=sumbeta<=alphacbeta,partial^betade<a,
onde psiin C^infty(Omega) e alpha é um multi-índice. Vamos usar a definição de multiplicação de uma distribuição por função suave, a definição de derivada de distribuição e a regra de Leibniz para derivadas de produto com multi-índices.

Passo 2

Pela definição de multiplicação de distribuição por função suave, para qualquer teste varphiin Cc^infty(Omega) vale
(psi,partial^alphade<a)(varphi) =partial^alphade<al(psi,varphir)

Passo 3

Usando a definição de derivada de distribuição,
partial^alphade<al(psi,varphir) =(-1)^|alpha|,de<al(partial^alpha(psi,varphi)r)

Passo 4

Aplicamos a regra de Leibniz para derivada de produto com multi-índices:
partial^alpha(psi,varphi) =sumbeta<=alphabinomalphabeta,partial^betapsi;partial^alpha-betavarphi

Passo 5

Como de<a avalia funções em 0, temos
de<al(partial^alpha(psi,varphi)r) =sumbeta<=alphabinomalphabeta,(partial^betapsi)(0),l(partial^alpha-betavarphir)(0)

Passo 6

Para relacionar l(partial^alpha-betavarphir)(0) com partial^alpha-betade<a(varphi), usamos
partial^alpha-betade<a(varphi) =(-1)^|alpha-beta|,varphi^(alpha-beta)(0) ;Longrightarrow; varphi^(alpha-beta)(0) =(-1)^|alpha-beta|,partial^alpha-betade<a(varphi)

Passo 7

Substituindo em todos os passos anteriores, obtemos
(psi,partial^alphade<a)(varphi) =sumbeta<=alpha(-1)^|alpha|binomalphabeta(partial^betapsi)(0),l(partial^alpha-betavarphir)(0) =sumbeta<=alpha(-1)^|alpha|+|alpha-beta|binomalphabeta(partial^betapsi)(0),partial^alpha-betade<a(varphi)
Como |alpha|=|beta|+|alpha-beta|, temos (-1)^|alpha|+|alpha-beta|=(-1)^|beta|.

Passo 8

Identificamos, na expressão acima, o coeficiente de partial^gammade<a(varphi) com gamma=alpha-beta. Reescrevendo o índice betamapstoalpha-gamma, concluímos que
psi,partial^alphade<a =sumgamma<=alpha underbrace(-1)^|alpha-gamma|binomalphagammal(partial^alpha-gammapsir)(0)cgamma ,partial^gammade<a

Resposta

boxed psi,partial^alphade<a =sumbeta<=alpha (-1)^|alpha-beta|binomalphabetal(partial^alpha-betapsir)(0) ;partial^betade<a

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