(Condições em sistemas físicos) Em sistemas físicos, muitas vezes variáveis estão relacionadas por uma equação. Considere:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pergunta se esse
pode ser considerado um espaço vetorial (isto é, um subespaço de
). Para isso, vamos lembrar que um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob soma de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
temos
logo
.
Passo 3
Pegue dois vetores arbitrários em
, digamos
e
, tais que
A soma é
. Então
portanto
.
Passo 4
Pegue um escalar arbitrário
e um vetor
com
. O vetor
satisfaz
logo
.
Passo 5
Vimos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto
é um subespaço vetorial de
e, assim, pode ser considerado um espaço vetorial.
Resposta
Sim. O conjunto
é um subespaço vetorial de
, pois é o núcleo de uma forma linear homogênea e satisfaz todas as propriedades de subespaço.