(Condições em sistemas físicos) Em sistemas físicos, muitas vezes variáveis estão relacionadas por uma equação. Considere:
S=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y+z=0
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid x - 2y + z = 0
e pergunta se esse S pode ser considerado um espaço vetorial (isto é, um subespaço de R^3). Para isso, vamos lembrar que um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob soma de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero 0=(0,0,0) pertence a S. Substituindo em x - 2y + z = 0 temos
0 - 2cdot 0 + 0 = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Pegue dois vetores arbitrários em S, digamos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2), tais que
x1 - 2y1 + z1 = 0 e x2 - 2y2 + z2 = 0
A soma é u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Então
(x1+x2) - 2(y1+y2) + (z1+z2) = (x1 - 2y1 + z1) + (x2 - 2y2 + z2) = 0 + 0 = 0,
portanto u+vin S.

Passo 4

Pegue um escalar arbitrário alphainR e um vetor u=(x,y,z)in S com x - 2y + z = 0. O vetor alphau=(alpha x,;alpha y,;alpha z) satisfaz
alpha x - 2(alpha y) + alpha z = alpha,(x - 2y + z) = alphacdot 0 = 0,
logo alphauin S.

Passo 5

Vimos que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto S é um subespaço vetorial de R^3 e, assim, pode ser considerado um espaço vetorial.

Resposta

Sim. O conjunto S é um subespaço vetorial de R^3, pois é o núcleo de uma forma linear homogênea e satisfaz todas as propriedades de subespaço.

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